Fourier Dönüşüm Kimlikleri

9

Aşağıdakileri biliyoruz,

\begin{matrix} (1) & F {x (t)} = X (f) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & F {x (- t)} = X (- f) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & F {x^{*} (t)} = X^{*} (- f) \end{matrix}

$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$

Şimdi, eğer bir sinyal için

\begin{matrix} (4) & x (- t) = x^{*} (t) \end{matrix}

$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$

Peki, aşağıdakileri varsaymak güvenli midir?

\begin{matrix} (5) & X (- f) = X^{*} (- f) \end{matrix}

$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$

veya sinyalin türüne mi bağlı?

fourier-transform continuous-signals

— sundar
kaynak

Yine de en uygun yanıtı doğrulayabilirsiniz

— Laurent Duval

13

Haklısın. Son denkleminiz bunu söylemenin süslü bir yolu $X(f)$ gerçek değerlidir.

Genel olarak: bir alanda gerçekse, diğer alanda eşlenik simetriktir.

— Hilmar
kaynak

8

Evet, eqs ise. (2) ve (3) (yaptıkları) herhangi bir "sinyal türü" için beklettikten sonra (5) tutmak zorundadır.

(4) 'ü (2)' ye ekleriz

F {x^{*} (t)} = X (- f)

$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$ ve kullanma (3)

X (- f) = X^{*} (- f)

$X(-f) = X^*(-f)$

Eğer ikame edersek $f = - g$ aldık

X (g) = X^{*} (g)

$X(g) = X^*(g)$ ilgili olan, Hilmar önce gözlemlemiştir , araçlarının

X (f)

$X(f)$ gerçek değerlidir. Bu, (4) 'e göre,

x (t)

$x(t)$ sergileyen eşlenik simetri .

— Deve
kaynak

7

@Deve ve @Hilmar'ın cevapları teknik olarak mükemmel. Birkaç soru ile bazı ek bilgiler vermek istiyorum.

İlk olarak, bu ters zaman / eşlenik kimliğini tatmin eden bir sinyal biliyor musunuz :

x (- t) = x^{*} (t) ?

$x(−t)=x^*(t)\,?$

İlk bariz fikir gerçek ve simetrik sinyaller arasından seçim yapmaktır. Fourier çerçevesindeki doğal olan kosinüs .

Şimdi biraz daha karmaşık olalım (pun intented).

İkincisi, gerçek sinüs ne olacak ? Anti-simetriktir. Ama bunu hatırlarsan $i^*=-i$ , işlev $t\to i.\sin t$ aynı zamanda bir çözüm haline gelir. Yani, katkı ile, fonksiyon

t \to e^{ben t}

$t\to e^{i t}$

( karmaşık üstel veya cisoid denir ) de bir çözümdür . Ve Fourier dönüşümü (genelleştirilmiş bir işlev olarak) gerçekten gerçektir (bir şekilde "sonsuz" olsa da). Daha ileri gidersek, cisoidlerin gerçek katsayılarla herhangi bir doğrusal kombinasyonu bunu yapacaktır.

Sorunuz, Fourier dualitesinin ne kadar önemli olduğunu ve bunu kullanmanın bazı sorunları nasıl basitleştirebileceğini göstermektedir. GERÇEK SİNYALLER İÇİN DTFT SİMETRİSİNDE görüldüğü gibi :

Diğer bir deyişle, eğer bir sinyal $x(n)$ gerçek, o zaman spektrumu Hermitian (`` konjugat simetrik '').

Burada, temel sinyaliniz $x$ Hermitian ve Fourier versiyonu gerçek. Daha iyi anlamak için hayal edin $t$ bir frekans değişkenidir ve $f$ zamanı ikili. Standart gösterim Jeofizik İşaretlerin ve Dalgaların / Karmaşık Simetri Özelliklerinin Dijital Analizinde verilmektedir .

Buna Heyser tirbuşonu / spirali de denir .

— Laurent Duval
kaynak