Kesin bir ölçü ölçüsü nedir?

Şu anda sinyallerin, özellikle görüntülerin sıkıştırılmış algılama ve seyrek gösterimi üzerinde çalışıyorum.

Sık sık "seyreklik tanımı nedir?" Sorusu sorulur. "Bir sinyalin çoğu elemanı sıfır veya sıfıra yakınsa, Fourier veya Wavelet gibi bir alanda, o zaman bu sinyal o temelde seyrek olur." ancak bu tanımda her zaman bir sorun vardır, "çoğu öğe ne anlama geliyor? Bu yüzde 90 mı? 80 yüzde? yüzde 92,86 ?!" Sorumun ortaya çıktığı yer, azlık için kesin, yani sayısal bir tanım var mı?

sparsity

— M.Jalali
kaynak

Bence seyrekliğin bant genişliği gibi bir terim olduğunu göreceksiniz . Tüm bağlamlarda uygulanabilecek tek bir tanımları yoktur. Cevap, tatmin edici olmayan bir "duruma bağlıdır" dır.

— Jason R

@JasonR Sanırım, ama bundan bahseden herhangi bir referans var mı?

— M.Jalali

Bu aynı zamanda yeniden yapılandırma planlarınıza da bağlıdır.

— MimSaad

@Jason R Bant genişliği ile olan bağlantınız oldukça ilham vericidir. Her ikisinin de bazı destek üzerinde genliksiz bir fikri vardır. Bant genişliği bana azlık üzerinde "yeterli" bir bağlantı fikrini güçlendiriyor gibi görünüyor

— Laurent Duval

" Esneklik için kesin, yani sayısal bir tanım var mı? " Ve sayısal olarak , hem hesaplanabilir hem de pratik olarak "kullanılabilir" anlıyorum . Benim düşüncem şu: henüz değil, en azından, bir fikir birliği yok, yine de bazı layık yarışmacılar var. İlk seçenek " yalnızca sıfır olmayan terimleri say " hassastır, ancak verimsizdir (sayısal yaklaşıma ve gürültüye duyarlıdır ve optimize etmek çok karmaşıktır). İkinci seçenek " bir sinyalin çoğu elemanı sıfırdır veya sıfıra yakındır ", "en" ve "yakın" durumlarında oldukça belirsizdir.

Dolayısıyla, "resmi bir kesinlik ölçütü ", daha resmi yönler olmaksızın, anlaşılması zor bir şeydir . Hurley ve Rickard'da yapılan seyrekliği tanımlamak için yapılan yeni bir girişim, 2009 Seyirlilik Ölçümlerinin Karşılaştırılması , IEEE'nin Bilgi Teorisi İşlemleri.

Fikirleri, iyi bir seyreklik ölçüsünün yerine getirmesi gereken bir dizi aksiyom sağlamaktır ; örneğin, bir sinyal $x$ sıfır olmayan bir sabitle çarpılır, $\alpha x$ , aynı esnekliğe sahip olmalıdır. Diğer bir deyişle, bir seyreklik ölçüsü $0$ -homojen. Funnily, $\ell_1$ sıkıştırma algılamasında veya kement regresyonunda vekil $1$ -homojen. Bu aslında her norm veya yarı norm için geçerlidir $\ell_p$ , (sağlam olmayan) sayım ölçüsüne eğilimli olsalar bile $\ell_0$ gibi $p\to 0$ .

Böylece altı aksiyomlarını detaylandırıyorlar, servet analizinden ödünç alınan hesaplamaları gerçekleştiriyorlar:

Robin Hood (zenginlerden al, fakirlere ver, azlığı azaltır),
Ölçekleme (sürekli çarpma, seyrekliği korur),
Yükselen Gelgit (aynı sıfır olmayan hesabın eklenmesi seyrekliği azaltır),
Klonlama (verilerin çoğaltılması seyrekliği korur),
Bill Gates (Zenginleşen bir adam seyrekliği arttırır),
Bebekler (sıfır değer eklemek azlığı artırır)

ve Gini indeksinin ve bazı norm veya yarı-norm oranlarının iyi adaylar olabileceğini ortaya koyan bilinen önlemleri araştırın (ikincisi için, bir ayrıntıda bir Taxicab'da Öklid'de bazı ayrıntılar sağlanmıştır : Smoothed ile Seyrek Kör Dekonvolüsyon $\ell_1/\ell_2$ Düzenleme , 2005, IEEE Sinyal İşleme Mektupları). Bu ilk çalışmanın daha da geliştirilmesi gerektiğini hissediyorum ( SPOQ'da kalın, Düzeltilmiş $p$ bitmiş $q$ $\ell_p/\ell_q$ yarı normlar / normlar oranları ). Çünkü bir sinyal için $x$ , $0< p\le q$ , norm oranı eşitsizliği şunu verir:

1 \leq \frac{ℓ_{p} (x)}{ℓ_{q} (x)} \leq ℓ_{0} (x)^{1 / p - 1 / q}

$1\le \frac{\ell_p(x)}{\ell_q(x)}\le \ell_0(x)^{1/p-1/q}$

ve eğilimi $1$ (sol taraf, LHS) $x$ seyrek ve sağ tarafta (RHS) olmadığında. Bu çalışma artık bir ön baskı: SPOQ: pürüzsüz p-Over-q Kütle Spektrometrisine uygulanan Seyrek Sinyal Kurtarma için Düzenleme . Bununla birlikte, sağlam bir ölçü ölçüsü, dönüştürülen verilerin amacınız için yeterince seyrek olup olmadığını söylemez.

Son olarak, sıkıştırma algılamasında kullanılan başka bir kavram, yeniden sipariş edilen (azalan düzen) katsayı büyüklüklerinin olduğu sinyallerin sıkıştırılabilirliğidir. $c_{(k)}$ bir güç yasasına uy $C_\alpha .(k)^{-\alpha}$ ve daha büyük $\alpha$ , çürüme daha keskin.

— Laurent Duval
kaynak