Bir sistemin “itme tepkisi” ve “frekans tepkisi” ile ne kastedilmektedir?

71

Basit İngilizce'de frekans cevabı ve dürtü cevabı arasındaki farkı kimse söyleyebilir mi?

— Ant adlı
kaynak

134

Dürtü yanıtı ve frekans yanıtı vasıflandırılması için yararlı olan iki öznitelik vardır doğrusal zamanla değişmeyen (LTI) sistemleri. Bir LTI sisteminin çıkışının belirli bir giriş sinyali için ne olacağını hesaplamanın iki farklı yolunu sağlarlar. Sürekli zamanlı bir LTI sistemi genellikle şu şekilde gösterilmektedir:

LTI sistem diyagramı

Genel olarak, sistemi , giriş sinyalini karşılık gelen bir çıkış sinyaline eşler . İçlerinden geçen sinyallere çok farklı dönüşümler uygulayabilen birçok LTI sistemi vardır. Ancak, hepsi iki temel özelliği paylaşır: $H$ $x(t)$ $y(t)$

Sistem doğrusaldır , bu nedenle üst üste binme ilkesine uyar . Basitçe belirtmek gerekirse, eğer iki sinyali doğrusal olarak birleştirirseniz ve bunları sisteme girerseniz, çıkış, sinyallerin bireysel olarak iletilmesinin sonucu olarak, çıkışların ne olacağı ile aynı doğrusal kombinasyondur. Başka bir deyişle, eğer bir çıkış eşleyen ve bir çıkış eşleyen daha sonra tüm değerleri için, ve , $x_1(t)$ $y_1(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t)$ $a_1$ $a_2$

H {a_{1} x_{1} (t) + a_{2} x_{2} (t)} = a_{1} y_{1} (t) + a_{2} y_{2} (t)

$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$

Sistem zamanla değişmez , bu yüzden özellikleri zamanla değişmez . Giriş sinyaline bir gecikme eklerseniz, çıkışa aynı gecikmeyi eklersiniz. Bir çıkış sinyali bir giriş sinyali , sonra tüm değerleri için , $x(t)$ $y(t)$ $\tau$

H {x (t - τ)} = y (t - τ)

$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$

Ayrık zamanlı LTI sistemleri aynı özelliklere sahiptir; Kesikli-sürekli-sürekli farktan ötürü gösterim farklıdır, ancak çok benzerler. Bu özellikler sistemin çalışmasının dürtü ve frekans tepkileri kullanılarak basit bir şekilde karakterize edilmesine izin verir. Farklı bağlamlarda kullanılabilecek sisteme iki bakış açısı sağlarlar.

Dürtü yanıtı:

Darbe terimi anılır dürtü yanıtı genellikle kısa süreli zaman alanlı sinyalidir. Sürekli zamanlı sistemler için, bu Dirac delta işlevi iken, ayrık zamanlı sistemler için Kronecker delta işlevi tipik olarak kullanılır. Bir sistemin dürtü yanıtı ( sürekli-zamanlı sistemler için genellikle veya ayrık zamanlı sistemler için olarak açıklanır), sistem girişine bir dürtü uygulandığında ortaya çıkan çıkış sinyali olarak tanımlanır. $\delta(t)$ $\delta[n]$ $h(t)$ $h[n]$

Bu neden faydalıdır? Sistem çıktısının zaman alanında nasıl görüneceğini tahmin etmemizi sağlar. Yukarıda belirtilen doğrusallık ve zamanla değişmezlik özelliklerini hatırlıyor musunuz? Sistemin giriş sinyalini bir grup bileşenin toplamına ayırabilirsek, çıkış, bu bileşenlerin her biri için sistem çıkışlarının toplamına eşittir. Girdi sinyalimizi ölçekli ve zaman kaydırmalı darbelerin toplamına ayırabilirsek ne olur? Daha sonra, çıktı aynı şekilde dürtüsel ve zaman kaydırmalı darbe tepkisinin kopyalarının toplamına eşit olacaktır.

Ayrık zamanlı sistemler için bu mümkündür, çünkü ölçeklendirilmiş ve zaman kaydırmalı Kronecker delta fonksiyonlarının toplamı olarak herhangi bir sinyali yazabilirsiniz : $x[n]$

x [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] δ [n - k]

$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$

Toplamdaki her terim , o anda değerinin ölçeklendirdiği bir dürtüdür . 'ı bir LTI sisteminden geçirip elde etmek için ne elde edeceğiz ? Basit: Girdiğimiz her ölçeklendirilmiş ve zaman gecikmeli dürtü, çıktıdaki dürtü yanıtının ölçeklendirilmiş ve zaman gecikmeli bir kopyasını verir. Yani: $x[n]$ $x[n]$ $y[n]$

y [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] h [n - k]

$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$

burada sistemin dürtü yanıttır. Yukarıdaki denklem, ayrık zamanlı LTI sistemler için evrişim teoremidir . Yani, bir LTI sistemine giriş yapan herhangi bir sinyali için , sistemin çıkışı , giriş sinyalinin ayrık evrişimine ve sistemin impuls yanıtına eşittir. $h[n]$ $x[n]$ $y[n]$

Sürekli zamanlı sistemler için yukarıdaki basit ayrıştırma katı bir matematiksel anlamda mümkün değildir (Dirac delta sıfır genişliğe ve sonsuz yüksekliğe sahiptir), ancak mühendislik düzeyinde, soruna bakmanın yaklaşık, sezgisel bir yöntemidir. Benzer bir evrişim teoremi şu sistemler için geçerlidir:

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$

burada yine, sistemin dürtü tepkisidir. Bu ilişkiyi türetmenin birkaç yolu vardır (Dirac delta işlevlerinin her zaman vardiya değişiminin Hilbert alanı için dikey bir temel oluşturduğunu iddia ederek yukarıdaki gibi benzer bir argüman oluşturabileceğini düşünüyorum . delta işlevinin eleme özelliği , bu temelde herhangi bir işlevi yansıtmak için, bu nedenle sistem çıktılarını, temelle ilişkili çıktılar (örneğin, zaman kaydırmalı dürtü yanıtları) olarak ifade etmenizi sağlar, ancak lisanslı bir matematikçi değilim, bu yüzden onu bir kenara bırakacağım). Yalnızca yukarıda belirtilen LTI sistem özelliklerine dayanan bir yöntem burada gösterilmektedir . $h(t)$ $L^2$ $L^2$

Özetle: Hem ayrık hem de sürekli zamanlı sistemler için dürtü yanıtı kullanışlıdır, çünkü bu sistemlerin çıkışını herhangi bir giriş sinyali için hesaplamamıza izin verir; çıkış basit bir şekilde impuls yanıtı işlevi ile oluşturulan giriş sinyalidir.

Frekans tepkisi:

Bir LTI sisteminin frekans tepkisi benzer bir fonksiyon sağlar: bir sistemin bir giriş sinyali üzerindeki etkisini hesaplamanıza izin verir, ancak bu etkiler frekans alanında gösterilmektedir . Fourier dönüşümünün tanımını hatırlayın :

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

Daha da önemlisi, bu illüstrasyon uğruna, tersine bakın:

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$

Temel olarak, bu ilişki bize herhangi bir zaman alanı sinyalinin değişen frekanslarda birçok karmaşık üssel fonksiyonun doğrusal bir kombinasyonuna bölünebileceğini söylemektedir ( ayrık zamanlı Fourier olarak adlandırılan ayrık zamanlı sinyaller için benzer bir ilişki vardır). dönüşümü ; sadece basitlik için aşağıdaki sürekli-zaman durumunu ele alırım). Bir zaman-alan sinyali için Fourier veren bir karşılık gelen işlev dönüşümü , her bir frekans için, belirten , ölçeklendirme faktörü, frekans karmaşık üstel uygulamak $x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $f$ $f$ yukarıda bahsedilen lineer kombinasyonda. Bu ölçeklendirme faktörleri, genel olarak, karmaşık sayılardır. Karmaşık sayılara bakmanın bir yolu genlik / faz biçimindedir, yani:

X (f) = A (f) e^{j ϕ (f)}

$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$

Bu şekilde bakıldığında, , her biri fonksiyonu ile genlik olarak ölçeklendirilen ve fonksiyonu ile faz değiştirilen birçok karmaşık üstel fonksiyonun doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabilir . Bu, daha önce tartıştığımız LTI sistem özelliklerine iyi bir şekilde hitap ediyor; eğer giriş sinyalimizi bir grup karmaşık üstel fonksiyonun doğrusal bir kombinasyonuna ayırabilirsek, o zaman sistemin çıktısını, bu karmaşık üstel fonksiyonlara aynı sistem tepkisi kombinasyonuyla yazabiliriz. $x(t)$ $A(f)$ $\phi(f)$ $x(t)$

İşte daha iyi hale geldiği yer: üstel fonksiyonlar doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin özfonksiyonlarıdır . Fikir, lineer cebirdeki özvektörlere benzer şekilde, eğer bir LTI sistemine üstel bir işlev koyarsanız, aynı üstel işlevi (genellikle karmaşık) bir değere göre ölçeklendirirsiniz. Bu, koyduğunuz üstel fonksiyonun genliğini ve fazını değiştirme etkisine sahiptir.

Bu, yukarıda tartışılan Fourier dönüşümü bazlı ayrıştırmayla birleştirildiğinde çok faydalıdır. Daha önce söylediğimiz gibi, değişen frekanslarda herhangi bir karmaşık üstel fonksiyonun doğrusal bir kombinasyonu olarak herhangi bir sinyali yazabiliriz . Eğer yi bir LTI sistemine geçirirsek , o zaman (çünkü bu üstel sistemler sistemin özfonksiyonlarıdır), çıkış aynı frekanslarda karmaşık üsteller içerir, sadece genlikte ölçeklenir ve faz olarak kaydırılır. Üstellerin genlik ve fazlarına olan bu etkiler, frekansın bir fonksiyonu olarak sistemin frekans tepkisidir . Yani, Fourier dönüşümü olan bir giriş sinyali için, Fourier dönüşümü olan bir çıkış elde etmek üzere sistemine geçirilir. $x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $H$ $Y(f)$ ,

Y (f) = H (f) X (f) = A (f) e^{j ϕ (f)} X (f)

$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$

Özetle: Eğer bir sistemin frekans tepkisini ve içine koyduğumuz sinyalin Fourier dönüşümünü biliyorsanız , o zaman sistemin çıkışının Fourier dönüşümünü hesaplamak kolaydır; bu yalnızca frekans tepkisinin ve giriş sinyalinin dönüşümünün ürünüdür. spektrumunda mevcut olan her karmaşık üstel frekans için, sistem, genlikte ile üstel olan ölçeklendirme ve fazda üsteli radyan ile değiştirme etkisine sahiptir . $H(f)$ $X(f)$ $X(f)$ $A(f)$ $\phi(f)$

Onları bir araya getirmek:

Bir LTI sisteminin impuls cevabı ve frekans cevabı yakından ilişkilidir. Frekans cevabı basitçe sistemin dürtü yanıtının Fourier dönüşümüdür (bu ilişkinin neden olduğunu görmek için, bu diğer sorunun cevabını görün ). Yani sürekli bir sistem için:

H (f) = \int_{- \infty}^{\infty} h (t) e^{- j 2 π f t} d t

$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

Yani, bir sistemin dürtü yanıtı veya frekans tepkisi göz önüne alındığında, diğerini hesaplayabilirsiniz. Her ikisi de sistemin davranışını tam olarak nitelemek için yeterlidir; dürtü yanıtı, zaman alanında çalışırken faydalıdır ve frekans yanıtı, sıklık alanındaki davranışı analiz ederken faydalıdır.

— Jason R
kaynak

14

1000 kere oy kullanmanın bir yolu var mı? En iyi cevap .. Ama SO kısıtlama olarak üzgünüm, sadece +1 verebilirim ve cevabı kabul edebilirim! :) çok teşekkürler. . .

— Karınca

8

İNANILMAZ! Bulabildiğim herhangi bir ders kitabından çok daha iyi!

— Jase

1

güzel cevap! :)

— jarryd

+1 ve benim için en içten teşekkür ederim. :)

— kod

1

@heltonbiker Hayır, adım yanıtı gereksiz. Bir LTI sistemini tamamen karakterize etmek için dürtü yanıtı veya frekans tepkisi yeterlidir. Ayrık zamanlı durum için, sonsuz bir dürtü toplamı olarak bir adım işlevi yazabileceğinizi unutmayın. Sistemin doğrusallık özelliği nedeniyle, adım yanıtı, yalnızca uygun şekilde gecikmeli dürtü yanıtlarının sonsuz bir toplamıdır.

— Jason R,

13

Bir kez keskin bir şeye çarpın ve zaman alanında nasıl yanıt verdiğini çizin (bir osiloskop veya kalem çizici ile). Bu dürtü yanıtına yakın olacak.

Bir ton jeneratörü alın ve farklı frekanslarda bir şey titretin. Bazı rezonans frekansları yükseltir. Diğerleri hiç cevap vermeyebilir. Cevap büyüklüğünü ve fazı giriş frekansına göre çizin. Bu frekans cevabına yakın olacak.

Bazı yaygın sistem sınıfları için (sistemin zaman içinde çok fazla değişmediği ve doğrusal olmayan herhangi bir nedenin eldeki amaç için görmezden gelebilecek kadar küçük olduğu), iki yanıt ilişkilidir ve bir Laplace veya Fourier dönüşümü uygulanabilir. ilişkiyi tahmin etmek için.

— hotpaw2
kaynak

10

Dürtü yanıtı, bir sistemin sonsuz küçük süreli ve birim enerjili (bir Dirac nabzı) tek bir darbeye verdiği tepkidir. Frekans tepkisi, her bir frekansın sistem tarafından ne kadar zayıflatıldığını veya güçlendirildiğini gösterir.

Bir sistemin frekans cevabı, frekans alanına dönüştürülen impuls cevabıdır. Bir dürtü yanıtınız varsa, frekans yanıtını bulmak için FFT'yi kullanabilir ve bir frekans yanıtından dürtü yanıtına gitmek için ters FFT'yi kullanabilirsiniz.

— Han
kaynak

6

Belki de bunun yalnızca doğrusal ve zamanla değişmeyen

— Paul R

6

Kısacası, iki tür temel yanıtımız var: zaman yanıtları ve sıklık yanıtları . Zaman tepkileri sistemin anlık bozulma ile nasıl çalıştığını test ederken, frekans tepkisi sürekli bozulma ile test eder. Zaman yanıtları, adım yanıtı, rampa yanıtı ve dürtü yanıtı gibi şeyler içerir . Frekans yanıtları sinüsoidal cevaplar içerir .

Aalto Üniversitesinde bazı kurslar Mat-2.4129 dersi burada serbestçe verilmektedir , en çok muhtemelen Matlab dosyalarıdır, çünkü çoğu Fincedir . Daha fazla ilgileniyorsanız, tanıtım videoları için aşağıdaki videoları kontrol edebilirsiniz. Onları kendim için faydalı buldum.

LTI sorunları hakkında yalnızca çok temel bilgilerim var, bu yüzden onları aşağıda ele alacağım - ama kesinlikle çok daha farklı tür problemler var!

Doğrusal zamanla değişmeyen problemlere verilen cevaplar

LTI (doğrusal zamanla değişmeyen) problemlerinde, giriş ve çıkış aynı forma sahip olmalıdır: sinüzoidal giriş sinüzoidal bir çıkışa sahiptir ve benzer şekilde giriş sonucunu adım çıkışına adım atar. Eğer LTI sisteminiz yoksa - geri bildiriminiz olduğunu veya kontrol / gürültü ve giriş bağıntınız olduğunu varsayalım - yukarıdaki iddiaların tümü yanlış olabilir. LTI ile iki tip değişiklik elde edersiniz: faz kayması ve genlik değişiklikleri ancak frekans aynı kalır. Bazı varsayımları ihlal ederseniz, korelasyon-olmayan varsayımla söyleyelim, o zaman girdi ve çıktı çok farklı biçimlerde olabilir.

Bir sistemin LTI olup olmadığını araştırmanız gerekirse, Wiener-Hopf denklemi ve korelasyon analizi gibi bir araç kullanabilirsiniz. Wiener-Hopf denklemi gürültülü sistemlerle kullanılır. Sonuçları doğrulamak ve binaları doğrulamak çok önemlidir; aksi halde farklı yanıtlarla hata yapmak kolaydır. Gürültülü sistem ile dürtü tepkisinin belirlenmesi hakkında daha fazlası burada .

Referanslar

LTI hakkında Wikipedia makalesi burada

Farklı tepkiler hakkında çok iyi tanıtım videoları burada ve burada aşağıda birkaç önemli nokta -.

— hhh
kaynak

(ilgisiz soru): Videonun anlık görüntüsünü nasıl oluşturdunuz?

— alexey

1

@alexey, bazı uygulama mağazalarındaki veya tarayıcı uygulamalarındaki "kolaj" uygulamalarını arar.

— hhh