Nasıl olur

DSP'de acemi oldum ve bu konuda çok az şüphem var $\mathcal Z$dönüşüm ve yakınsama bölgesi (ROC).

Ne olduğunu biliyorum $\mathcal Z$- dönüşümdür. Ama ROC'yi anlamakta zorlanıyorum. Her şeyden önce biraz karışıklığım var$X(z)$ ve $x(z)$. Bu şartları değiştirerek kolayca yakalanırım. Biliyorum ki, ROC,$\mathcal Z$dönüşümü var. Web'den ve kitaplarımdan şunu belirtiyor:

Eğer $x[n]$ bir sonlu süre dizisidir, o zaman ROC tüm $z$- muhtemelen hariç $z = 0$ veya $\lvert z\rvert = \infty$. Sonlu süreli bir dizi, sonlu bir aralıkta sıfır olmayan bir dizidir$n_1 \le n \le n_2$

Ve sonra diyor ki:

Ne zaman $n_2 > 0$ olacak $z^{-1}$ terim ve dolayısıyla ROC, $z=0$. Ne zaman$n_1 < 0$ toplam sonsuz olacak ve bu nedenle ROC içermeyecektir $\lvert z\rvert=\infty$.

Burada sıkışıp kaldım !. Yukarıdaki satırda "ne denemek demek$n_2 > 0$ olacak $z^{-1}$ terim ve dolayısıyla ROC, $z=0$"Ne demek istiyorlar $z=0$? Onların yerine geçiyorlar mı?$z$ gibi $0$, eğer öyleyse hangi denklemde?

Sonsuz bir dizi için yakınsama bölgesini nasıl hesaplayabiliriz?

Tamamen dürüst olmak gerekirse, Z dönüşümünün arkasındaki teorinin üniversitede de opak olduğunu düşündüm. Geçmişte, karmaşık analizde bir ders almak bunu daha açık hale getirecekti. Ve ben de bu şeyler için kullanılmış gibi görünen notasyonel konvansiyonlardan hoşlanmıyorum. Açıkçası, buradaki olağan sözleşme şudur:

• $x[n]$ ayrı bir zaman dizisini belirtir
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • köşeli ayraçlar ayrı bir argümanı gösterir
• $X(z)$ sürekli değerli bir dönüştürülmüş işlevi belirtir
  • $z\in\mathbb{C}$ (karmaşık bir sayıdır)
  • parantezler sürekli değerli bir parametreyi kabul eden bir işlevi belirtir
  • Başkent $X$ "Başka bir fonksiyonun / sekansın dönüştürülmüş bir versiyonunu" belirtir. $x$ (benzer bir gösterim Fourier dönüşümleri için kullanılır: $F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

Z = 0 ile ne anlama geliyorlar? Hangi denklemde z'yi 0 olarak değiştiriyorlar?

Yani, sadece takın $z=0$ her zamanki Z-dönüşümü tanımınıza ekleyin.

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

Genel olarak (daha kesin olarak, $x[n] \ne 0$ bazı $n \ne 0$), bu toplam bazı kompleksler için (sonsuzluğa) ayrılır $z$. Örneğin,$x[0] = 1, x[1] = 1$, ve $x[n]=0$ için $n<0$ ve $n>1$. Sonra$X(z) = 1 + z^{-1}$. ROC şunları içermez$z=0$, için $\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Metniniz " Ne zaman$n_2>0$ olacak $z^{−1}$ terim ve dolayısıyla ROC, $z=0$", bununla ne demek istedikleri, $x[n]$ bazıları için sıfır değil $n>0$, z-dönüşümünün aşağıdakileri içermesi kaçınılmazdır: $z^{-n}$ sonsuzluğa yönelen terim $z=0$. Bu kadar.

Sonsuz bir dizi için yakınsama bölgesini nasıl hesaplayabiliriz?

Çok fazla matematik. Ha!

srsly, bunun yapılma şekli, söz konusu dizi için bir cebirsel formülasyon elde etmek, onu Z-dönüşümü tanımına takmak ve bu Z'nin -sönüştürür / ayrışır. Uygulamada,$|z|=1$ yakınsama cevaplanması gereken en önemli sorudur, çünkü bu istikrarı ve sistemden bir frekans yanıtı alıp alamayacağınızı belirler. Ama ne yaptığınıza bağlı olarak nedensellik de önemli olabilir.