Filtrelemeyi çarpma veya katlama olarak uygulamak sayısal olarak daha kararlı mıdır?

Ben bir beşinci dereceden Butterworth filtre çevrimdışı ile 20.000 örnek bir sinyal filtre için bir program yazıyorum. Bir FFT uygulamasına erişimim var. Filtrelemeyi uygulamak için iki alternatif var gibi görünüyor:

• sinyalin zaman alanındaki dürtü yanıtı ile kıvrılması veya
• sinyalin frekans alanındaki dürtü yanıtı ile çarpılması ve sonucun ters çevrilmesi

Bu yöntemler teorik FT durumunda aynı olacaktır. Bununla birlikte, DFT ile gerçek hayatta yapmak, her şeyin farklı olduğunu düşünüyorum. Yöntemlerden biri sayısal olarak daha kararlı mı? Dikkat etmem gereken başka sorunlar var mı? Hesaplama sayısı önemli değildir.

Evrişim ile, herhangi bir kararlılık problemi yaşamayacaksınız, çünkü özyinelemeli filtreleme yok, bu yüzden herhangi bir hata biriktirmeyeceksiniz. Başka bir deyişle, sistemin tümü sıfırdır, kutup yoktur. Anekdotsal olarak duydum, ancak kendim için doğrulanmadım, FFT tabanlı evrişimin, zaman alanı evrişiminden daha düşük bir hataya sahip olduğunu, çünkü O (n ^ 2) yerine O (n log n) aritmetik işlemlere sahip olduğundan.

Tipik olarak, bildiğim kadarıyla, Butterworth filtreleri özyinelemeli (IIR) filtreler olarak uygulanır, bu yüzden farklı bir konudur. IIR filtrelerinin sıfırların yanı sıra kutupları da vardır, bu nedenle uygulamada kararlılık sorunları olabilir. Ayrıca, IIR filtreleri için, FFT tabanlı yöntemler bir seçenek değildir, ancak tersine, IIR filtreleri çok düşük sıralı olma eğilimindedir.

IIR filtreleriyle ilgili kararlılık sorunları söz konusu olduğunda, daha yüksek siparişlerde sorun yaşama eğilimindedirler - sadece bir sayı atacağım ve kabaca 6. sıra ittiğini söyleyeceğim. Bunun yerine, bunlar tipik olarak kademeli çiftler halinde uygulanır (2. dereceden filtre bölümleri). 5. derece filtreniz için, bunu bir z-domain transfer fonksiyonu olarak yazın (5. derece rasyonel fonksiyon olacaktır) ve daha sonra 5 kutbuna ve 5 sıfırına çarpar. Karmaşık eşlenikleri toplayın, iki adet çiftli ve bir adet birinci dereceden filtreye sahip olacaksınız. Genel olarak, kutuplar birim daireye yaklaştıkça stabilite sorunları ortaya çıkma eğilimindedir.

IIR filtrelerinde gürültü ve sınır döngüleri ile ilgili sorunlar da olabilir, bu nedenle farklı sayısal özelliklere sahip farklı filtre topolojileri (yani doğrudan form I, doğrudan form II) vardır, ancak bu noktayı fazla düşünmezdim - sadece çift kullanın hassasiyet ve neredeyse kesinlikle yeterince iyi olacak.

Hemen hemen her durumda en iyi seçiminiz ne kıvrım ne de FFT'dir, ancak IIR filtresini doğrudan uygulamaktır (örneğin sosfilt () işlevini kullanarak). Bu, CPU ve bellek tüketimi açısından çok daha verimli olacaktır.

Sayısal bir fark yaratıp yaratmadığı, ilgili filtreye bağlıdır. Bazı farkların ortaya çıkabileceği tek durum, kutupların birim daireye çok, çok yakın olmasıdır. Hatta yardımcı olabilecek birkaç numara var. Aktarım işlevi gösterimini ve filter () KULLANMAYIN, ancak sosfilt () ile kutup ve sıfır kullanın. İşte fark için bir örnek.

n = 2^16;  % filter length
fs = 44100; % sample rate
x = zeros(n,1); x(1) = 1;
f0 = 15; % cutoff frequency in Hz
% design with poles and zeroes
[z,p,k] = butter(5,f0*2/fs);
clf
plot(sosfilt(zp2sos(z,p,k),x));
% design with transfer function
[b,a] = butter(5,f0*2/fs);
hold on
plot(filter(b,a,x),'k');

filter (), yaklaşık 15Hz @ 44.1kHz'lik bir kesimde bozulur. Sosfilt () için kesim, 44.1kHz Hz'in 1 / 100'ünün çok altında olabilir.

İstikrar problemleriniz varsa FFT de pek yardımcı olmaz. Filtreniz bir IIR filtresi olduğundan, dürtü yanıtı sonsuzdur ve önce kısaltılması gerekir. Bu çok düşük frekansta, dürtü yanıtı o kadar uzar ki FFT de pratik olmaz.

Örneğin, 1/100 Hz @ 44,1 kHz'de bir kesme ve 100 dB'lik dürtü yanıtında dinamik bir aralık istiyorsanız, yaklaşık 25 milyon örneğe ihtiyacınız var !!! Bu, 44.1 kHz'de neredeyse 10 dakika ve orijinal sinyalinizden çok daha uzun

Neden bir şeyin farklı olacağını düşünüyorsunuz? Teorik kavramlar pratik uygulamalara dönüşmelidir, tek fark kaçamayacağımız kayan nokta meseleleridir. MATLAB'daki basit bir örnekle kolayca doğrulayabilirsiniz:

x=randn(5,1);
y=randn(5,1);
X=fft(x,length(x)+length(y)-1);
Y=fft(y,length(x)+length(y)-1);

z1=conv(x,y);z2=ifft(X.*Y);
z1-z2

ans =

   1.0e-15 *

   -0.4441
   -0.6661
         0
   -0.2220
    0.8882
   -0.2220
         0
   -0.4441
    0.8882

Gördüğünüz gibi, hatalar makine hassasiyeti düzeyindedir. FFT yöntemini kullanmamak için herhangi bir sebep olmamalıdır. Endolith'in belirttiği gibi, FFT yaklaşımını filtrelemek / bükmek / çapraz ilişkilendirmek vb. İçin çok daha yaygındır ve çok küçük örnekler dışında (bu örnekte olduğu gibi) çok daha hızlıdır. Zaman alanlı işleme asla yapılmaz ... hepsi uygulamaya, ihtiyaçlara ve kısıtlamalara dayanır.