“Fourier dönüşümü iki fazı aynı frekansta ölçemez.” Neden olmasın?

15

Fourier dönüşümünün aynı frekansta fakat farklı fazda bileşenleri ayırt edemediğini okudum. Örneğin, Mathoverflow veya xrayphysics'te , sorumun başlığını şu adresten aldım: "Fourier dönüşümü iki fazı aynı frekansta ölçemez."

Bu neden matematiksel olarak doğru?

fourier-transform fourier

— Matematik sersemletti
kaynak

5

bileşenlerini ayırt edebilir misiniz ? Eminim yapamazsın.

\sin (x) + \sin (x + c)

$\sin(x) + \sin(x+c)$

— Ilmari Karonen

FT bileşenleri bulur olabilir , belirli bir sinyalin yeniden kurulması için bir araya ilave edilebilir. Ancak bu, bu bileşenlerin orijinalinde bir şekilde mevcut olduğu anlamına gelmez. Belirli bir sinyalin "yapılandırılabilmesi" için sonsuz farklı yollar vardır, ancak sinyalin yalnızca bir benzersiz FT'si olacaktır.

— Solomon Slow

30

Çünkü aynı frekans ve farklı fazlara sahip iki sinüzoidal sinyalin eşzamanlı varlığı aslında aynı frekansta tek bir sinüzoidal eşdeğerdir , ancak aşağıdaki gibi yeni bir faz ve genliğe sahiptir :

İki sinüzodiyal bileşenin şöyle özetlenmesine izin verin:

x (t) = a \cos (ω_{0} t + ϕ) + b \cos (ω_{0} t + θ)

$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$

Daha sonra trigionometrik manipülasyonlardan aşağıdakiler gösterilebilir:

x (t) = A \cos (ω_{0} t + Φ)

$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$

burada ve

A = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos (θ - φ)}

$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$

Φ = {taba rengi}^{- 1} (\frac{bir günah (φ) + b günah (θ)}{bir marul (φ) + b marul (θ)})

$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$

bu nedenle aslında tek bir sinüzoidal (yeni bir faz ve genlik ile) ve bu nedenle gerçekten ayırt edecek bir şey yok ...

— fat32
kaynak

1

Beynimi kapatmalıyım çünkü trig şeyleri takip ediyorum ama hala etrafında dönen bir karışıklık var .. OP eklendikleri gün değildi, bu yüzden onları eklediğiniz ilk adımı haklı çıkartan nedir? Başka bir deyişle, eğer onları sadece birinin diğerinden "sonra" başladığı ancak eklenmedikleri iki sinyal olarak düşünürsek, bunları ayırt edebilir miyiz? Tek bir frekansta iki veri noktanız olmadığından bunları eklemeniz mi gerekiyor? Teşekkürler.

— leeds

2

@markleeds, OP pencereli Fourier dönüşümüne atıfta bulunduğunu söylemedi ve verilen bağlantılar penceresiz normal sürümü açıkça gösteriyor. Fourier analizinin normal versiyonunda, sinyallerin farklı fazlı ağırlıklı sinüzoidallerin toplamı olduğu varsayılmaktadır. Analiz, bu ağırlıkların ve aşamaların elde edilmesinden oluşur. Bunların koleksiyonu spektrumdur. 2 sinüzoidi birleştirirseniz, bu global Fourier analizi de fazlarını ayırt edemez. Ancak, pencereli Fourier dönüşümü böyle bir iş için tasarlandı ... dikkat çekici değil.

— Stefan Karlsson

1

Yorumumun önerdiği gibi, pencereli Fourier dönüşümünden bahsetmek bilgilendirici olabilir. @ Fat32'nin zamanı varsa, farklı frekanstaki 2 sinüzoidin birleştirilmesiyle ilgili süreksizliğinden ve bunu analiz etmeye çalışırsak neden global fourier dönüşümüne bir dizi rastgele görünen frekans eklediğimizi söyleyebilir.

— Stefan Karlsson

2

Merhaba @markleeds, StefanKarlsson'un daha önce belirttiği gibi, soru aynı frekanstaki bu iki sinüzoidalin süperpozisyonu (eşzamanlı katkı varlığı) ile ilgiliydi . Çok dikkatli bir şekilde Not faz a, göreceli süreli ve mutlak değildir; yani, yukarıda olan seçilmiş bir ortak (zaman) orijine göre ölçülür . Birleştirme (faz kaydırmalı anahtarlama gibi) pencereli ayrımcılık verir ama yine de zaten faz farkları anlatmak için ortak bir zaman kökenli başvurmalıdır. Bu nedenle PSK alıcıları sıkı darbe zamanı senkronizasyonu gerektirir ;-)

t = 0

$t=0$

— Fat32

1

@ msmsc kendimi tekrarlamak gibi hissettiriyor, ancak bu iki kablonun çıkışı eklenir ve daha sonra FT aracılığıyla analiz edilirse, kompozit faz ve ampl ile tek bir sinüs dalgası göreceksiniz ... Ama bunları eklemez ve ayrı olarak analiz etmezseniz, o zaman onların göreli evrelerini söyleyebileceksiniz ... Ve bu DFT ile ilgili değil.

— Fat32

1

Daha fazla okursanız, " Yukarıda tartıştığımız Fourier dönüşümünün basitleştirilmiş sürümü faz kaymalarını açıklayamaz - Fourier dönüşümü aslında bunu nasıl yapar?" biraz daha iyi bir açıklamaya dikkat ederseniz, sinüs ve kosinüs kullanırlar.

Msgstr " Faz Kaymalarının Matematiği (isteğe bağlı) .

Bir faz kaymasının kaydırılmamış sinüslere ve kosinüslere nasıl bölünebileceğini görmek için trigonometrik bir kimliğe ihtiyacımız var: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( b).

A * günah (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * günah (2 * π * f * t) + A * günah (φ) * cos (2 * π * f * t)

Gördüğünüz gibi, faz kayması sinüs sinyalinin genliğinin (enerjisinin) bir kısmını kosinüs sinyaline taşır, ancak frekans değişmez. Eğer varsa kullanmak karmaşık sayı temsili Fourier dönüşümü, faz kayması değişmeden büyüklüğü ile kompleks düzlemde değerinin bir dönme temsil eder. Faz kaymasının sadece sinüsden kosine hareket etmesi, aynı frekansa ve farklı faza sahip iki sinyalin eklenmesinin, o frekansta genel (ortalama) faz kayması olan ve bileşenlerin hafızası olmayan bir sinyal verdiği anlamına gelir. "

Uygulamada daha karmaşıktır, bkz. " Kısmi Fourier Teknikleri ", " Faz-eşlenik Simetri " ve " FOV ve k-uzay ". " Faz-kodlamaya Giriş - I " bölümünde açıklıyorlar:

“... aynı frekansta fakat farklı fazlara sahip iki sinüs dalgası (A ve B) birlikte eklendiğinde, sonuç aynı frekansta fakat farklı bir faza sahip başka bir sinüs dalgasıdır. Sinüs dalgaları fazda birbirine yakın olduğunda yapıcı olarak müdahale ederler ve faz dışı olduklarında yıkıcı müdahale ederler.

... Sadece toplamlarına baktığınızda, belirli bir frekans ve fazın sinüs dalgasını görürsünüz. Bu tek gözlemden, A ve B dalgaları tarafından yapılan bireysel katkıları sıralamak imkansızdır .

Bununla birlikte, A ve B ile farklı aşamalar arasında değişen iki gözlem yapılarak, bireysel katkılarını sadece toplamlarına bakarak belirlemek mümkündür. Bu, aşağıda MR görüntüsünde gösterilmektedir, burada A ve B, aynı kodlanmış frekansta (ω) rezonansa aynı dikey sütunda iki pikseldir. Spesifik olarak Aşama 0'da (bazal kodlama gradyanı uygulanmadığında taban çizgisi) birlikte A&B'den gelen toplam sinyal yazılabilir: So (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

...

Adım 1'deki bu tek ölçümden, A ve B bireysel genliklerini hala bilmiyoruz, sadece farkları (A − B). Hem Adım 0 hem de Adım 1'deki bilgileri birlikte kullanarak, basit bir cebir ile benzersiz sinyal katkılarını çıkarabiliriz:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A ve ½ [So - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

".

Aksi takdirde şöyle görünecektir (resim A):

Çeşitli algoritmalardan gelen eserleri gösteren PFI: (A) temel algoritma, (B) BAX algoritması, (C) sıfır doldurma algoritması, (D) önceden sabit, doğrusal SDPS düzeltmesi olan verileri kullanan, daha yüksek dereceli SDPS'den gelen eserleri gösteren temel algoritma.

— soymak
kaynak

1

Bu yazma biraz daha net olabilir olarak . Sonra, dağıtıldığından, . Biz çarpanlarına olabilir ve biz olsun . Bu, aynı frekanstaki iki sinyalle uğraşırken, zamana bağlı kısmı hesaplayabildiğimizi, her bir sinyali sabit bir terimle karakterize olarak bırakabildiğimizi ve elbette Fourier dönüşümünü alırken, sabit terimlerin olabileceğini gösterir. dışarı çıktı. Ayrıca $c\cos(\omega t+\phi)$ $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$ $Re$ $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$ $ae^{\omega t i}$ $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$ $c e^{\phi i}$ büyüklüğünün ve açının ile verildiği karmaşık düzlemde bir vektör olarak yorumlanabilir . Ve bu vektör uzayında toplama gerçekleştirebiliriz: toplamı temsil eden vektör, toplamları temsil eden vektörlerin toplamıdır. $c$ $\phi$

Bu nedenle, her iki sinyal de çıkışın büyüklüğünü etkilerken, ek bir sinyal, çıkışın faz boşluğunun neresinde olduğunu etkilemez.

— Acccumulation
kaynak

1

Çemberin toplamlarını kullanarak sorunun geometrik bir versiyonunun yolunu görmek istiyorum.

Sines ve kosinüs "sadece" cisoids veya karmaşık üstel gerçek ve sanal kısımları (bazı referanslar bulunabilir vardır ben sezgisel bir kompleks üssünü nasıl açıklayabiliriz? , Bir analitik sinyali için 3D kıpırdatmak arsa: Heyser tirbuşon / spiral , Fourier Dönüşümü Kimlikler ).

Eğer alırsak , daha sonra veya ve çok şey yapabilirsiniz kombinasyonları. Bir cisoid'in avantajı, bir noktanın tarafından tahrik edilen farklı hızlarda hareket ettiği bir daire (tekerlek) olarak tasvir edilebildiği için 2D alanını daha iyi kullanmasıdır . "Farklı genliklere sahip frekanslar" ın toplamı, burada gösterildiği gibi farklı yarıçaplara ve hızlara sahip "dönen tekerleklerin toplamlarında" ( harmonik çevrelerden veya Fourier Serisi Animasyondan ödünç alınmış) toplamında temsil edilebilir : $s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$ $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\omega$

Aynı frekansta iki harmoniğin toplamına geri dönersek, sorun şu şekilde okunur: kombinasyonu ayırabilir miyiz veya ölçebilir miyiz:

{bir}_{1} s_{ω, φ_{1}} (t) + {bir}_{2} s_{ω, φ_{2}} (t) ?

$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$

Sabitler ve karmaşık olabilir, bu yüzden bizden önce sorunu biraz basitleştirmek edelim. Fourier vardiya değişmezliği özelliklerine sahip olduğundan, veya ve yalnızca bir faz farkını koruyabiliriz. Ayrıca, bir genliği (örneğin en büyüğü) çarpanlarına ayırabilir ve soruyu basitleştirilmiş sorunun davranışına indirgeyebiliriz: $a_1$ $a_2$ $e^{2 \pi i\phi_1}$ $e^{2 \pi i\phi_2}$

s_{ω, 0} (t) + bir s_{ω, φ} (t),

$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$

ile . Bu basitleştirme şu şekilde yazılabilir: $|a|<1$

\begin{matrix} (1) & e^{2 π ben (ω t)} + bir e^{2 π ben (ω t + φ)} \end{matrix}

$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$

ve böylece:

\begin{matrix} (2) & (1 + bir e^{2 π ben φ}) e^{2 π ben (ω t)}, \end{matrix}

$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$

bu, aynı frekansa, ancak farklı bir faza ve genliğe sahip başka bir harmonik bileşendir. Karmaşık sayı , @ alpha32 ile detaylandırılan trigonometrik kurallarla olarak yeniden yazılabilir (gerekirse daha sonra ayrıntılandırabilirim) ). Şimdi sezgiyi geometrikleştirelim. Birim daire, çalışan bir bisiklet tekerleğindeki bir noktanın (valfin ucu diyelim) hareketidir. -radius daire (sadece resim üzerinde mavi ve kırmızı işaretler gibi) valfe bağlı küçük bir çıkrık gibidir. Şimdi, küçük tekerleğin çevresindeki bir noktanın hareketine bakıyoruz. $(1+ae^{2\pi i\phi})$ $\alpha e^{2\pi i\varphi}$ $a$

Sorunuz ne soruyor: Eğer küçük ve büyük bir tekerleğin açısal dönüşü aynıysa, noktanın hareketinin yarıçap ve a'nın iki tekerleğinin ( başlangıç açısıyla) birleşiminden kaynaklanıp kaynaklanmadığını söyleyemezsiniz. ) veya başka bir başlangıç açısıyla tek bir büyük tekerlekten (yarıçap ). ve ile kastedilen budur . $1$ $a$ $\alpha$ $\ref{a}$ $\ref{b}$

Başka bir deyişle, ne Fourier dönüşümü ne de insan gözü, aynı frekansa ancak farklı faza sahip bileşenleri ayırt edemez .

[[Zamanı bulursam animasyon ekleyeceğim]]

— Laurent Duval
kaynak