Otokorelasyon neden zirveyi sıfıra indiriyor?

Otokorelasyon fonksiyonundaki sıfır kaymanın enerjisine eşit olduğunu biliyorum, ancak zirvenin neden sıfırda olduğunu anlamak istiyorum.

Resmi bir kanıt mı yoksa bunun arkasında sezgi mi arıyorsunuz? Sonraki durumda: "Hiçbir şey kendisinden daha fazla bir işleve benzemez". Gecikme otokorelasyon f işlevi ile τ tarafından kaydırılan aynı işlev $\tau$arasındaki benzerliği ölçer . Eğer Not f periyodiktir, f herhangi bir tamsayı katı ile kaydırılır τ ve f zirveleri ile merkezi bir tepe noktası olarak aynı yükseklikte olan sürenin katlarında - otokorelasyon bir tarak şeklindedir, yani bir arada bulunur.$f$$\tau$$f$$f$$\tau$$f$

Bir peryodik ayrık zamanlı sonlu enerji sinyalinin otokorelasyon fonksiyonu

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ sırasıyla gerçek sinyaller ve karmaşık sinyaller için. Fuar kolaylığı için kendimizi gerçek sinyallerle sınırlandırarak $x[m]x[m-n]$ toplamını ele alalım . Sabit gecikme $n$ ve belirli bir $m$ , $x[m]x[m-n]$ tipik olarak pozitif veya negatif değere sahip olacaktır. Böyle bir durumda, belirli bir gecikme için $n$ , $x[m]x[m-n]$ herkes için negatif değildir$m$ ise, toplamdaki tüm terimler toplanır (iptal edilmez) ve bu nedenle$R_x[n]$ nin pozitif değere sahip olması garanti edilir. Aslında, toplam tüm ise tepe noktaları en büyük olacak$x[m-n]$ zirveleri ile hizaya$x[m]$ ve vadi$x[m-n]$ içinde vadileri ile hizaya$x[m]$ . Örneğin,$x$ , aşırı örneklenmiş bir içgüdüm işleviyse, $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ , tepeler$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ve vadiler $\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$, sonra$R_x[n]$olacaktır maximade$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (ve aynı şekilde, sahip olacaktırminimumade$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ tepe vadiler ile aynı hizaya olduğunda). Küreselmaksimum$R_x[n]$ gecikmesindeki tabii ki $n = 0$ olduğunda en yüksek tepe$x[m]$ ve$x[m-n]$ bir arada bulunur. Nitekim bu sonuç, bu sinc sinyale ama değil sadece geçerlidirherhangisinyali. En lag $n = 0$ , elimizdeki $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ ve sadece birbirleri ile dizilmiş tüm zirveler ve vadilerin (olursa olsun, bu olduğu garanti edilir $x[m]$ cinsinden oluşur ), aynı zamanda en yüksek zirvelerin ve en derin vadilerin uygun şekilde sıralandığı da görülür.

Daha resmi olarak, resmi delil talep eden @JohnSmith gibi bilgiçler için, Cauchy Eşitsizliği karmaşık değerli diziler için $u$ ve $v$ ,

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ Kendimizi sadece açıklama kolaylığı için gerçek değerli dizilere sınırlayan daha ayrıntılı bir versiyon, $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ buradaeşitliküst (alt) sınırda varsa pozitif (negatif) bir sayı$\lambda$varsa$u = \lambda v$, (yani,$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$burada$\lambda > 0$($\lambda < 0$)). Karekök içindeki toplamların dizilerin $\mathcal E_u$ ve $\mathcal E_v$ enerjileri olduğunu kabul ederek şunu yazabiliriz $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ $u[m] = x[m]$ve$v[m] = x[m-n]$'$n$ ayarlanması,buradanbir tamsayıdır, buna sahibiz $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ ve artık kabul$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, o var $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ eşitliklex[m]=λx[m-n]ise sınırlardan birinde tutma$x[m] = \lambda x[m-n]$tüm $m$ . Son olarak, $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ ve $n=0$ olduğunda , $u[m] = x[m]$ sekansının v [ m ] = sekansı ile aynı olduğunu not edin. x [ m - n ] = x [ m - 0$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$ (yani$\lambda = 1$ ,tüm m için$u[m] = \lambda v[m]$ olacakşekilde pozitif gerçek sayıdır), - R x [ 0 ] ≤ R x [ n ] ≤ R x [ 0 ] , R x [ n ] ' nin n = 0'da bir tepe değerine sahip olduğunu gösterir$m$ $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ $R_x[n]$$n=0$, diğer tüm otokorelasyon değerleri bu zirveden daha küçüktür.

---

Zaman $x[m]$ a, periyodik sonlu güç sinyali, yukarıda verilen miktarlar $R_x[n]$ farklılaşır. Bu gibi durumlarda, periyodik otokorelasyon fonksiyonu

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ burada $N$$x[m]$ periyodudur , yani,$x[m] = x[m-N]$ tüm$m$ tamsayıları için. Not,$R_x[n]$ periyodik bir fonksiyonudur $n$ . Şimdi,$R_x[0] \geq |R_x[n]|$için$1 < n < N$ , maksimum değer$R_x[0]$ , aynı zamanda düzenli aralıklarla tekrar eder:$R_x[kN] = R_x[0]$ tüm$k$ tamsayıları için. Ayrıca Not bu mümkün olduğu$R_x[n] = -R_x[0]$ , bazıları için$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$ , tipik olarak$n = N/2$ ise$N$ bile, ve böyleceperiyodikdönemdeki en yüksek zirveler kadar derin vadilere sahip olabilirotokorelasyon işlevi. Bu tür bir dizinin en basit örneği $N=2$ ve sekansının bir dönemdir $[1 ~ -1]$ olan periyodik oto korelasyon sadece periyodik dizisidir $[2 ~ -2]$ , otokorelasyon ile tepe ve oyuklar, bir $R_x[n]$n eşit bir tam sayı olduğunda tepe değerine $2$ sahip olmak ( 0'ın eşit bir tam sayı olduğunu unutmayın !) ve " tek tepe noktası" değerine sahip - n tek değerlerinde 2$n$$0$$-2$$n$. Daha genel olarak, bu fenomen, $N$ eşit olduğunda ve bir dönem $\vec{x}$$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$ içine ayrılabilir .

kullanma

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

one can easily show that

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

the first term is simply $R_x[0]$ve ikinci terim, birinciden çıkarılan negatif olmayan bir sayıdır. bunun anlamı$R_x[m]$ Aşamaz $R_x[0]$ herhangi $m$.