FFT kutularını sıfırlayarak filtrelemek neden kötü bir fikir?

Bir FFT yaparak, bazı kutuları sıfırlayarak ve sonra bir IFFT uygulayarak bir sinyali filtrelemek çok kolaydır. Örneğin:

t = linspace(0, 1, 256, endpoint=False)
x = sin(2 * pi * 3 * t) + cos(2 * pi * 100 * t)
X = fft(x)
X[64:192] = 0
y = ifft(X)

Yüksek frekanslı bileşen bu "brickwall" FFT filtresi tarafından tamamen çıkarılır.

Ama bunun kullanım için iyi bir yöntem olmadığını duydum.

• Neden genel olarak kötü bir fikir?
• Tamam ya da iyi bir seçim olduğu durumlar var mı?

[ pikenetler tarafından önerildiği gibi ]

$\sin(\omega t)/\omega t$

Bu dalgalanmalar, FFT açıklığı genişliğinde "depo gözleri arasında" ya da tamsayılı olmayan periyodik herhangi bir spektral içerik için en büyük olacaktır. Orijinal FFT giriş verileriniz, o pencerede periyodik olmayan herhangi bir veri üzerinde bir pencere ise (örneğin, çoğu eşzamanlı olarak örneklenmemiş "gerçek dünya" sinyalleri), o zaman bu belirli eserler sıfırlayıcı kutular tarafından üretilecektir.

Buna bakmanın başka bir yolu, her bir FFT sonuç kutusunun zaman alanındaki belirli bir sinüs dalgası frekansını temsil etmesidir. Bu nedenle, bir bölmeyi sıfırlamak, o sinüs dalgasını çıkarmak veya eşdeğer olarak, tam bir FFT bölmesi merkez frekansının ancak ters fazı olan bir sinüs dalgasını eklemekle aynı sonucu üretecektir. Zaman alanındaki bazı içeriğin sıklığı FFT genişliğinde yalnızca tam sayı olan periyodik değilse, o zaman tam sayıdaki tam sayı periyodik sinüs dalgasının tersini ekleyerek iptal etmeye çalışın, sessizlik üretecek, ancak daha çok benzeyen bir şey üretilecektir. bir "beat" notu (farklı bir frekansta AM modüle edilmiş sinüs dalgası). Yine, muhtemelen ne istenirse değil.

Bunun tersine, orijinal zaman alanı sinyaliniz FFT diyafram genişliğinde tam olarak tam sayı olan tam olarak modüle edilmemiş, sadece birkaç saf modüle edilmemiş sinüzoit ise, sıfırlanan FFT bidonları belirtilenleri yapay olmayanları kaldıracaktır.

Bu soru da beni uzun zamandır kafam karıştı. @ hotpaw2'nin açıklaması iyi. Matlab kullanarak basit deney ilginizi çekebilir.

https://poweidsplearningpath.blogspot.com/2019/04/dftidft.html

güncellenmiş bilgi.

Bu gerçeği doğrulamak için, sadece FFT kutularını sıfırlayan ideal bir (?) Bant geçiş filtresinin dürtü yanıtı spektrumunu dikkatlice gözlemlememiz gerekir. Neden "ihtiyatla" zarfını eklemem gerekiyor? Darbenin tepkisini gözlemlemek için sadece aynı boyutta FFT kullanırsak, Şekil 1'de gösterildiği gibi kandırılırız . Bununla birlikte, filtrenin çıktısını gözlemlerken DFT sırasını eklersek, yani impuls yanıtını sıfıra silerken, Gibbs fenomenini, Şekil 2'de gösterildiği gibi frekans bölgesinde dalgalanmalar bulabiliriz .

Aslında sonuçlar pencereleme etkisinden geliyor. Sorunu tamamen anlamak istiyorsanız, lütfen DSP (1) İncil'inin 7.6 ve 10.10-10.2. Bölümlerine bakınız. Özetle, burada üç kilit nokta belirtilmiştir.

1. Pencerenin boyutu ve DFT (FFT) sırası tamamen bağımsızdır. Onları birlikte karıştırmayın.
2. Pencerenin özellikleri (tip / boyut) DTFT şeklini domine eder. (örn. daha geniş ana lob, frekans yanıtında daha geniş geçici bandın oluşmasına neden olur.)
3. DFT, DTFT'nin sadece frekans alanındaki örneklemesidir. Dahası, DFT'nin sırası ne kadar yüksek olursa, DFT'nin tayfı o kadar yoğun olur.

Böylece, Şekil 2'deki daha yoğun spektrumun yardımıyla , ideal (sahte) Bant geçiş filtresinin maskesini görebiliriz.

Aldatıcı Frek. Tepki.

Frek'te Gibbs olayı. Tepki.

(1) Alan V. Oppenheim ve Ronald W. Schafer. 2009. Kesikli Zamanlı İşaret İşleme (3. baskı.). Prentice Hall Press, Üst Sele Nehri, NJ, ABD.

fps = 15;

LPF = 1;
HPF = 2;

n = -511:512;
n0 = 0;
imp = (n==n0);

NyquistF = 1/2*fps;

%% Ideal BPF
tmp_N = 512;
tmp_n = 0:1:tmp_N-1;
freq = ( n .* fps) ./ tmp_N;
F = fft(imp, tmp_N);  
F_bpf = IdealBandpassFilter(F, fps, LPF, HPF);
imp_rep =[real(ifft(F_bpf))'];

% Zero padding.
imp_rep2 =[zeros(1,2048) real(ifft(F_bpf))' zeros(1,2048)];

N = 2^nextpow2(length(imp_rep));
F = fft(imp_rep,N);
freq_step = fps/N;
freq = -fps/2:freq_step:fps/2-freq_step;
freq = freq(N/2+1:end)';

figure;
plot(freq,abs(F(1:N/2)));
xlabel('freq(Hz)');
ylabel('mag');
title('Mis leading Freq Response');


N = 2^nextpow2(length(imp_rep2));
F = fft(imp_rep2,N);
freq_step = fps/N;
freq = -fps/2:freq_step:fps/2-freq_step;
freq = freq(N/2+1:end)';

figure;
plot(freq,abs(F(1:N/2)));
xlabel('freq(Hz)');
ylabel('mag');
title('Zero Padding (DFT) with more points');

%% Function
function filered_signal = IdealBandpassFilter(input_signal, fs, w1, w2)

    N = length(input_signal);
    n = 0:1:N-1;
    freq = ( n .* fs) ./ N;

    filered_signal = zeros(N, 1);

    for i = 1:N
        if freq(i) > w1 & freq(i) < w2
            filered_signal(i) = input_signal(i);
        end

    end
end

FFT zayıf zaman çözünürlüğü verir, yani belirli bir frekansın ne zaman olduğu hakkında bilgi vermez. Verilen sinyal süresi için mevcut frekans bileşenleri hakkında bilgi verir.

FFT'deki kutuların sıfırlanması, zaman diliminde IFFT'den sonra düşük çözünürlük sağlar.