Bir zaman alanı sinyalini 'beyazlatmak' nasıl?

'Beyazlatma' filtresi veya sadece 'beyazlatma' filtresi olarak bilinen şeyi tam olarak nasıl uygulayacağımı anlamaya çalışıyorum.

Amacının otokorelasyon fonksiyonu olarak bir deltaya sahip olmak olduğunu anlıyorum, ancak bunu tam olarak nasıl yapacağımdan emin değilim.

Buradaki bağlam şöyledir: İki farklı alıcıda bir sinyal alınır ve bunların çapraz korelasyonları hesaplanır. Çapraz korelasyon bir üçgen veya başka bir tanrısal biçim gibi görünebilir. Bu nedenle, çapraz korelasyon sinyalinin zirvesini bulmak zorlaşır. Bu durumda, çapraz korelasyon yapılmadan önce sinyalleri 'beyazlatmak' gerektiğini duydum, böylece çapraz korelasyon şimdi daha delta benzeri olacak.

Bu nasıl yapılır?

Teşekkürler!

Çapraz korelasyon fonksiyonu olan ve sinyalleriniz olduğunu varsayalım ; dürtü benzeri olmasını istiyorsunuz . Frekans alanında Böylece , ve elde etmek için sinyalleri sırasıyla ve doğrusal filtreleriyle filtrelersiniz. , ve şimdi çapraz korelasyon işlevi, Fourier dönüşümü olan y ( t ) R x , y ( t ) R x , y F [ R x , y ] = S x , y ( f ) = X ( f ) Y ∗ ( f ) . g h x ( t ) = x * g x ( f $x(t)$$y(t)$$R_{x,y}(t)$$R_{x,y}$

$$\mathcal{F}[R_{x,y}] = S_{x,y}(f) = X(f)Y^*(f).$$ $g$$h$$\hat{x}(t) = x*g$Y = Y * h -Y ( f ) = Y ( f ) 'H ( f ) R, X , Y, K [ R, X , Y ] = S x , y ( f $\hat{X}(f) = X(f)G(f)$$\hat{y} = y*h$$\hat{Y}(f) = Y(f)H(f)$$R_{\hat{x},\hat{y}}$ R, X , Y Rx,yRh,gghG(f)H*(f)ghX(f)Y∗(f $$\begin{align*} \mathcal{F}[R_{\hat{x},\hat{y}}] = S_{\hat{x},\hat{y}}(f) &= [X(f)G(f)][Y(f)H(f)]^*\\ &= [X(f)Y^*(f)][G(f)H^*(f)]\\ &= [X(f)Y^*(f)][G^*(f)H(f)]^*, \end{align*}$$ yani , ile arasındaki çapraz korelasyondur . Daha da önemlisi, tercih istediğiniz ve , böylece çapraz spektral yoğunluk ve ve çarpımsal tersidir çapraz spektral yoğunluk ve ve$R_{\hat{x},\hat{y}}$$R_{x,y}$$R_{h,g}$$g$$h$ $G(f)H^*(f)$$g$$h$ $X(f)Y^*(f)$$x$$y$veya buna yakın bir şey. Sadece bir sinyaliniz ve bir filtreniz varsa, o zaman Hilmar tarafından verilen sonucu elde edersiniz (yorumda verilen değişiklikle). Her iki durumda da, spektral null'ları veya genellikle sinyallerin çok az enerjiye sahip olduğu frekans bantlarını telafi etme sorunu hala devam etmektedir.

Ön beyazlatma, sinyalin güç spektrumunun kabaca tersi olan bir transfer fonksiyonu ile filtreleme ile yapılabilir. Diyelim ki kabaca pembe olan bir ses sinyaliniz var. Bunu beyazlatmak için ters pembe bir filtre uygularsınız (frekans yanıtı oktav başına 3 dB artar).

Ancak, bunun sorununuza yardımcı olup olmayacağından emin değilim. Ön beyazlatma, sinyaldeki düşük enerjili parçaları büyütme eğilimindedir, bu da gürültülü olabilir ve bu nedenle sisteminizdeki genel gürültüyü artırır. İki sinyalin zamana hizalanıp hizalanmadığını (veya zaman hizalamasının ne olduğunu) belirlemeye çalışıyorsanız, sorunun sinyalin bant genişliği ile ilgili bazı doğal belirsizlikler vardır. Bu tam olarak otokorelasyon fonksiyonunun zaman alanı şeklinde temsil edilir. 

Bir vektör beyazlatmanın genel olarak basit bir yöntem yoktur bir örnek veri seti verilmiştir. boyutunun 2 olup olmadığı veya kayan geçici bir pencere sorularınız net değildir . Her neyse bileşenlerini süslemek istersiniz . Böyle basit bir sorun için frekans alanında yapılması zordur.x $\bf x$$\bf x$$\bf x$

Veri vektörlerinin örneklerinden oluşan örnek bir veri kümesiyle başladığınızı varsayarsak, bu, farklı zamanlarda iki sinyalin bir örnek kümesi olabilir. ortalaması sıfır olacak şekilde veri kümesi ortalamasını çıkarırsınız . Ardından, verilerinin verilerinin kovaryans matrisini hesaplamanız gerekir; burada , veri örneklerinin sayısıdır ve bileşenlerinin endeksleridir, eğer 2 sinyal varsa 0'dan 1'e gider. Bu durumda kovaryans matrisi sadece 2x2 olacaktır.C i j = $\bf x$Ni,j$C_{ij} = \frac{1}{N}\sum_{{\bf x}\in Data}x_i x_j$$N$$i,j$$\bf x$

Bu kovaryans matrisine sahip olduğunuzda, beyazlaştırılmış sürümü elde etmek için verileri çoğaltmak için bir matris formunda bir beyazlatma dönüşümü hesaplayabilirsiniz. Bu yeni beyazlatılmış verinin kovaryansı kimlik matrisidir.

Beyazlatılmış veriler . Bu, sadece bir örnek veri kümesi üzerindeki varyansı hesaplamanın ve daha sonra standart sapmasını normalleştirmek için yeni verileri varyansın kare köküne bölmenin matris sürümüdür.${\bf y} = C^{-1/2}{\bf x}$

olan Cholesky ayrışmasını kullanarak değerini hesaplayabilirsiniz . 2x2 matris için basit cebir kullanmak çok kolaydır . Beyazlatılmış veriler, ile verilmiştir; bu, düşük üçgen olduğundan, ters çözücü oluşturmadan ortak çözücüler tarafından verimli bir şekilde hesaplanabilir. ° C = L L , T , Y = L - 1 x$C^{-1/2}$$C=LL^T$${\bf y}=L^{-1}{\bf x}$$L$

Sinyaldeki düşük enerjili parçaların nasıl filtreleneceği ile ilgili ise, bir düşük geçiş filtresi kullanabilir misiniz? Bununla ilgili bazı uygulamalar var.

Bu: bu onun yararlı olursa makalesinde Karjalaien et dan. al, beyazlatma filtresi ve filtre tarafından kullanılan çarpık doğrusal tahmin yöntemi ile ilgilidir.