Çeşitli FT'ler - CFT, DFT, DTFT ve Fourier Serileri için en net ve sezgisel açıklama nedir?

Bunları uzunca bir süre çalıştıktan sonra bile, [eğer bir süre temasta kalmazsam] birbirleriyle nasıl ilişkili olduklarını ve [benzer şekilde isimlendirici isimleri olduğu için] birbirlerinin ne anlama geldiğini unutacağım. Umarım o kadar sezgisel ve matematiksel olarak güzel bir açıklama ile hatıralarımın içine gömülecekler ve bu konu ne zaman istersem (veya başka birinin) ihtiyacı olduğunda süper hızlı bir tazeleme işlevi görecek.

Bu broşürü Oppenheim ve Willsky'ye bir tamamlayıcı olarak yazdım . Lütfen sayfa 14’teki Tablo 4.1’e bakınız. (Daha büyük resim için tıklayınız.) Bu tabloyu özellikle sizinki gibi soruları cevaplamak için yazdım.

Dört işlem arasındaki benzerlik ve farklılıklara dikkat edin:

1. "Seri": zamanla periyodik, frekansta ayrık
2. "Dönüşüm": zaman içinde aperiodik, sürekli frekansta
3. "Sürekli Zaman": zaman içinde sürekli, frekansta aperiodik
4. "Ayrık Zaman": zaman içinde ayrık, sıklıkta periyodik

Umarım bu notları faydalı bulursunuz! Lütfen istediğiniz gibi dağıtmaktan çekinmeyin.

Bu kavramların net ve doğru bir şekilde açıklanması için, bazı standart ders kitaplarından (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis veya Richard Lyons tarafından "Çok İyi ama nispeten daha az popüler bir kitap olan" Dijital Sinyal İşlemesini Anlama ") geçmeniz gerekecektir. . Ancak bir sehpa tartışması varsayarım, aşağıdaki konularda bazı son derece gevşek açıklamalar yapacağım. :)

Genel bir sürekli zaman sinyali için, herhangi bir özel frekansın olmamasını beklemezsiniz, bu yüzden Fourier Dönüşümü (veya Sürekli Fourier Dönüşümü) muhtemelen -inf ila + inf desteğine sahip sürekli bir eğri olur.

Periyodik bir sürekli sinyal için (T periyodu) Fourier, sinyali aynı periyotta sahip sinüs ve kosinüslerin kombinasyonu olarak ifade etti (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...). Etkili olarak, bu sinyalin spektrumu 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... konumlarındaki bir dizi sivridir ... Buna Fourier Serisi gösterimi denir. Herhangi bir periyodik sürekli zaman sinyalinin Fourier serisi gösteriminin ortalama kare anlamında gittikçe daha fazla sinüs ve kosinüs (veya karmaşık üssel) içerdiği için sinyale birleştiğini söyleyen bir teorem vardır.

Şimdiye kadar ahlaki: zamanın periyodikliği => dikenli spektrum

Kesikli zamana açık ... Sürekli bir zaman sinyali örneği alırsanız ne olur? Yeterince yüksek bir sinyal için, sinyali yeniden oluşturamayacağınız açık olmalıdır. Sinyalin frekansları hakkında bir varsayımda bulunmazsanız, örneklenen sinyal verildiğinde, gerçek sinyalin ne olduğunu söyleyemezsiniz. Başka bir deyişle, farklı frekanslar ayrık zamanlı sinyalde eşit olarak temsil edilir. Bazı matematiğe gitmek size örneklenen sinyalin spektrumunu orijinal sürekli sinyalden elde edebileceğinizi söyler. Nasıl? Sürekli zaman sinyalinin spektrumunu + -1 / T, + -2 / T, ... miktarlarıyla değiştirirsiniz ve kaydırılan tüm kopyaları eklersiniz (bir miktar ölçeklendirme ile). Bu size periyot 1 / T ile periyodik olarak sürekli bir spektrum verir. (not: spektrum zaman içinde örnekleme sonucu periyodiktir, zaman sinyali periyodik olmak zorunda değilsiniz) Spektrum sürekli olduğu için, periyotlarından yalnızca biriyle gösterebilirsiniz. Bu DTFT'dir ("Ayrık-Zamanlı" Fourier Dönüşümü). Orijinal sürekli zaman sinyalinizin + -1 / 2T'den daha yüksek olmayan frekanslara sahip olması durumunda, spektrumun kaydırılan kopyaları üst üste gelmez ve bu nedenle, spektrumun bir periyodunu seçerek orijinal sürekli zaman sinyalini kurtarabilirsiniz ( Nyquist örnekleme teoremi).

Hatırlamanın bir başka yolu: Dikenli zaman sinyali => spektrumda periyodiklik

Bazı k için örnekleme periyodu T / k ile sürekli zamanlı bir periyodik sinyal alırsanız ne olur? Öyleyse, sürekli zaman sinyalinin spektrumu ile birlikte olmak ve T'nin bir böleni ile örneklemek, sivri kopyalardaki çivilerin tam olarak 1 / T'nin katlarına düştüğü anlamına gelir. . dikenli periyodik zaman sinyali <=> dikenli periyodik spektrum (periyot ve örnekleme sıklığının yukarıdaki gibi "güzel bir şekilde ilişkili olduğu varsayılarak.) DFT (Kesikli Fourier Dönüşümü) olarak bilinen durum budur. FFT (Hızlı Fourier Dönüşümü), DFT'yi verimli bir şekilde hesaplamak için kullanılan bir algoritma sınıfıdır.

DFT'nin çağrılma şekli aşağıdaki gibidir: Zamanla bir N örnek dizisini analiz etmek istediğinizi söyleyin. DTFT'yi alabilir ve periyotlarından birini ele alabilirsiniz, ancak sinyalinizin N periyodu ile periyodik olduğunu varsayarsanız, DTFT DFT'ye düşer ve sinyali tamamen karakterize eden bir DTFT periyodundan sadece N örneğiniz vardır. Spektrumdan daha ince bir örnekleme ve (daha pek çok özellik gibi) elde etmek için sinyali zaman içerisinde sıfırlayabilirsiniz.

Yukarıdakilerin tümü, yalnızca bir DSP incelemesiyle birlikte yapılması durumunda faydalıdır. Yukarıdakiler sadece bazı çok zorlu kurallardır.

Let süresi ile sınırlı bir fonksiyonu ifade tüm gerçek sayılar için, olduğu, , . Özel bir örnek olarak, böyle bir fonksiyondur. Biz bulmak istiyoruz "en iyi" yaklaşımı biz katsayı seçmek isteyen bu işlev için böylece karesel hata mümkün olduğu kadar küçük olduğu gibi. İntegrali genişleterek $x(t)$$T$$t$$x(t+T) = x(t)$$\cos(2\pi t/T)$$a_n\cos(2\pi nt/T)$$a_n$

$$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$$ $$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ En soldaki integral enerji olan bir süre ile teslim en sağdaki integral değeri sahipken ve bkz böylece Şimdi. için , ikinci derecede fonksiyonudur bir minimum değerinin olduğu (kökler arasında yarı yolda ! !) ve böylece, kare hatasını ikinci dereceden bir işlevi olarak ifade ettiğimizden, kare hatasını en aza indiren seçimi$E$$x(t)$$T/2$ $$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$$ $a > 0$$az^2 + bz + c$$z = -b/2a$$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$$a_n$$a_n$b n tane b , n = $$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ Benzer şekilde, olarak seçmek ve arasındaki kare hatasını en aza indirir. . Böylece, Fourier serisinin, aynı dönemin sinüs ve kosinüs sinyalleri ve bunların harmonikleri açısından periyodik fonksiyonuna en küçük karesel hata yaklaşımını bulmak için ucuz bir numara olduğunu görüyoruz .$b_n$x ( t ) b , n sin ( 2 π n t / T ) x ( t $$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$$ $x(t)$$b_n\sin(2\pi nt/T)$$x(t)$

Endolith aslında Fourier serisiyle başlıyorsanız ve Fourier dönüşümü için nasıl genişletildiğini görüyorsanız doğrudur, o zaman işler çok anlamlı olmaya başlar. Bu cevabın ilk yarısında bunun için kısa bir açıklama yapacağım .

Fourier dönüşümü ailesine bakmanın iyi bir (belki de basit değil) yolu (yukarıda listelenen 4'ü kastediyorum), Pontryagin dualite gözlüklerinden geçer. Orijinal ve dönüştürülmüş alan adlarından farklı dönüşümleri hatırlamanız için size güzel bir yol sunar.

daki karmaşık değerli bir işlev için (FT'nin olması için gerekli diğer koşulları varsayarsak), Fourier dönüşümü de de karmaşık bir değerli işlevdir . alanı kendiliğinden bir Pontryagin'dir ve tüm ailedeki bir dönüşümün hem orijinal hem de dönüştürülmüş alan olarak olması durumunda, o zaman Fourier dönüşümüdür (ya da CFT, sen aradın).R R $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

sayısının karmaşık bir dizilimi, üzerinde periyodik bir karmaşık değerli işlev olarak görülebilir , ki bu bir döngüsel tamsayı modulo grubudur ( daha fazla bilgi için sonlu abelyan gruplarına bakınız ). Bu dizilim için dönüşüm aynı zamanda (kendinden çift) etki alanına sahiptir ve bu da ayrık Fourier dönüşümüdür.Z / n Z n Z / n $n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Birim dairenin alanı, (mutlak değeri 1 olan tüm karmaşık sayılar; ayrıca daire grubunu da görün ) ve tamsayıları kümesi birbirlerinin Pontryagin çiftleridir. İlk ikisine benzer şekilde, - arasında bir dönüşüm var ve ayrık zamanlı Fourier dönüşümü olarak adlandırdığımız şey , tam tersi de , her şeyin başladığı Fourier serisi .Z Z $\mathbb{T}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{T}$

Bu cevap tam olarak tamamlanmadı ve belki de zamanım olduğunda birkaç noktayı açıklığa kavuşturmak için bu cevabı geliştireceğim, ama o zamana kadar bu, başka birinden daha sezgisel bir açıklama elde edene kadar çiğnenecek bir şey olabilir. Ayrıca Wikipedia'da Fourier analizinin türevlerini okumayı deneyin .

Bence en önemlisi, neden daha fazla dört değişime ihtiyaç duyduğumuzu temelde anlamaktır. Bunlar birçok olası sinyal dönüşümünden biridir, aynı zamanda en faydalı olanlarından biridir. Bir dönüşüm temel olarak bir sinyali o alandaki sinyal hakkında bize bilgi verebilecek başka bir alana dönüştürür veya alanın matematiksel olarak çalışması kolay olabilir. Bu alanda çalışmayı tamamladığımızda, istenen sonucu daha kolay elde etmek için ters dönüşümü yapabiliriz.

Fourier teorisindeki en temel yapı taşı monotonlardır (sinüs ve kosinüs). Fourier matematiğini kullanarak bir sinyali frekans bileşenlerine (monotonlar) parçalayabiliriz. Böylece, fourier dönüşümü temel olarak bir zaman alanından frekans alanına bir sinyali dönüştürür. Fourier serisindeki her bir monotonun katsayısı bize, sinyaldeki o frekans bileşeninin gücünü anlatıyor. Fourier dönüşümleri (CFT, DFT) açıkça bize sinyalin frekans bölgesi görünümünü verir. Doğada, sinüs ve kosinüsler öne çıkan dalga formlarıdır. Kare dalga gibi sentetik sinyaller veya keskin dalgalanmalara sahip sinyallerin doğal olarak oluşma olasılığı daha düşüktür ve şaşırtıcı bir şekilde, fourier dönüşümleri tarafından açıkça açıklandığı gibi, sonsuz frekans aralığı oluşturmayan. İnsanlar herhangi bir sinyalin sinüslerin / kosinüslerin toplamı olarak okunabileceğinden şüphe ediyorlardı. Fourier, kare dalga biçiminin (ki bu sinüslerden / kosinüslerden çok uzak) gerçekten olabileceğini gösterdi. Beyaz gürültü tüm frekansları eşit güçte içerir.

Ayrıca, fourier serileriyle çalışıyorsanız, faz terimiyle birlikte katsayılar, kurucu sinosoidal dalga formlarını düzgün bir şekilde üst üste bindirmek için gerekli göründüğü gibi görülebilir, böylece süperpozisyon gerçekten de dönüştürmeyi aldığınız gerekli sinyaldir. Fourier dönüşümleriyle çalışırken, karmaşık sayılar dolaylı olarak faz terimlerine ve her bir monoton için gereken büyüklüğe sahiptir. (entegrasyon kabaca toplamı gibidir. sürekli => entegrasyon, ayrık => toplamı)

Bence bir kavramın temasını anladıktan sonra, hepsini okuyarak, kendiniz kitap okuyarak anlamak zorunda kalacağınız ayrıntıların hepsi olduğunu düşünüyorum. Fourier dönüşümlerinin çeşitli alanlara uygulanması hakkında okumak size daha iyi bir algı kazandırır.

DFT, bir dikgen uzaydan diğerine çift sayılar vektörünün dönüşümüdür. Çok yaygın olarak sayısal bir hesaplama yapılır. Bazı nedenlerden ötürü, gerçek dünyadan bir grup rakam alırken, 2. grup rakamlar genellikle oldukça yararlı bir şeye yeterince yakın olduğu ortaya çıkıyor.

Doğa Bilimlerinde Matematiğin Mantıksız Etkili Olduğunu , özellikle DFT'yi birçok sisteme uygulamakla ilgili olarak hatırlattığım gibi, 2. dereceden farklı denklemlerle, hatta henüz düşürdüğüm kahve kaşığının sesini bile yaklaştığı görülüyor.

Diğer 3 XYZ-FT, kahve çok soğumadan beyaz tahtaya sığacak sembolik çözümlere yardımcı olmak için bazı efsanevi sonsuz varlıkların varlığı hakkında varsayımlarda bulunur. Bunlar, sinyal işlemenin “küresel inekleri” dir. DTFT ve Fourier Serisi, bir vektörün diğer varlığın sonsuz yoğunluğu pahasına sonsuz bir şekilde uzatılabileceğini iddia eder. Fourier Serisi, her iki tarafın da sonsuz sürekli fonksiyonlar olabileceğini iddia ediyor.

Yeterince matematik dersi alın ve bu kurgusal varlıkları bir anlamda kesin ve eksiksiz hale getirmek için gereken tüm tanımları ve varsayımları bile belirleyebilirsiniz.