Wavelet hangi zaman-frekans katsayılarını hesaplar?

Fourier Dönüşümü hızlı alır işlemleri sırasında Dalgacık Dönüşümü hızlı alır . Fakat FWT özellikle ne hesaplar?$\mathcal O(N \log N)$$\mathcal O(N)$

Sık sık karşılaştırılsalar da, FFT ve FWT elma ve portakal gibidir. Anladığım kadarıyla, STFT'yi (zamanla küçük parçaların FFT'leri) karmaşık Morlet WT ile karşılaştırmak daha uygun olacaktır , çünkü ikisi de karmaşık sinüzoidlere dayanan zaman-frekans gösterimleridir (lütfen hatalıysam düzeltin ). Bu genellikle şöyle bir şema ile gösterilir:

( Başka bir örnek )

Solda, STFT'nin zaman geçtikçe birbirinin üstüne istiflenmiş bir grup FFT olduğunu (bu gösterim, spektrogramın kaynağıdır ) gösterirken, sağ, yüksek frekanslarda daha iyi zaman çözünürlüğüne ve daha iyi frekansa sahip olan dyadik WT'yi gösterir. düşük frekanslarda çözünürlük (bu gösterime scalogram denir ). Bu örnekte, STFT için , dikey sütunların sayısıdır (6) ve tek bir FFT işlemi , numunelerinden tek bir katsayıları satırı hesaplar . Toplam 8 FFT, her biri 6 puan veya zaman alanında 48 örnektir.O ( N log N ) N $N$$\mathcal O(N \log N)$$N$$N$

Neyi anlamadım?

• Tek bir FWT işlemi kaç katsayı hesaplar ve yukarıdaki zaman-frekans çizelgesinde nerede bulunurlar? $\mathcal O(N)$

• Hangi dikdörtgenler tek bir hesaplama ile doldurulur?

• Her ikisini kullanarak eşit alanlı bir zaman-frekans katsayıları bloğunu hesaplarsak, aynı miktarda veri alıyor muyuz?

• FWT hala FFT'den daha mı verimli?

PyWavelets kullanarak somut örnek :

In [2]: dwt([1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'haar')
Out[2]:
(array([ 0.70710678,  0.        ,  0.        ,  0.        ]),
 array([ 0.70710678,  0.        ,  0.        ,  0.        ]))

İki set 4 katsayı yaratır, bu yüzden orijinal sinyaldeki örnek sayısı ile aynıdır. Fakat bu 8 katsayı ile şemadaki karolar arasındaki ilişki nedir?

Güncelleştirme:

Aslında, muhtemelen bu hatayı yapıyordum ve wavedec()çok seviyeli bir DWT ayrıştırması yapan kullanıyor olmalıyım :

In [4]: wavedec([1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'haar')
Out[4]: 
[array([ 0.35355339]),
 array([ 0.35355339]),
 array([ 0.5,  0. ]),
 array([ 0.70710678,  0.        ,  0.        ,  0.        ])]

FWT’nin, FT’den ziyade STFT’nin “kuzeni” olduğu düşüncesindesiniz. Aslında, FWT, CWT'nin ayrı bir örneklemesidir (sürekli dalgacık dönüşümü), çünkü FFT / DFT, Fourier dönüşümünün ayrı bir örneklemesidir. Bu ince bir nokta gibi görünebilir, ancak dönüşümü nasıl ayrıştıracağınızı seçerken önemlidir.

CWT ve STFT, bir sinyalin yedekli analizleridir. Başka bir deyişle, bir sinyali tam olarak göstermeniz gerekenden daha fazla "katsayıya" sahipsiniz (ayrık durumda). Bununla birlikte, bir Fourier dönüşümü (veya sadece bir ölçek kullanarak bir dalgacık dönüşümü demek) -Enfitten + sonsuzluğa kadar bir sinyali bütünleştirir. Bu, gerçek dünya sinyalleri için çok kullanışlı değildir, bu yüzden dönüşümleri daha kısa uzunluklara keseriz (yani pencere). Bir sinyalin pencerelenmesi dönüşümü değiştirir - zamanla / boşluktaki pencereyle çoğaltırsınız, böylece dönüşüm alanında pencerenin dönüşümü ile sinyalin dönüşümü gerçekleşir.

STFT durumunda, pencereler (genellikle) her zaman aynı uzunluktadır (sıfır olmayan ölçüdedir) ve frekans agnostiğidir (siz bir 10 Hz sinyalini 10 kHz sinyali ile aynı genişlikte görüntülersiniz). Böylece çizdiğiniz gibi dikdörtgen ızgara spektrogramı elde edersiniz.

CWT bu pencereye, ölçek azaldıkça (daha yüksek frekans gibi) dalgacıkların kısalması (zaman veya uzayda) gerçeği ile inşa edilmiştir. Bu nedenle, daha yüksek frekanslar için, etkili pencerenin süresi kısalır ve FWT için çizdiğiniz şeye benzeyen bir scaleogram ile bitirdiniz.

CWT'yi nasıl takdir edeceğiniz biraz size bağlıdır, ancak hem sinyali hem de ölçeğinde bir sinyali tam olarak temsil etmek için minimum örneklemeler olduğunu düşünüyorum. Genellikle (en azından onları nasıl kullandım), en düşük ölçek (en yüksek frekans) için, tüm vardiya konumlarında (zaman / boşluk) örnekleme yaparsınız. Ölçek arttıkça (frekans düşüklüğü), daha az sıklıkta numune alabilirsiniz. Bunun nedeni, düşük frekansların hızla değişmediğidir (bir zil gürültüsüne karşı bir bas gitarı düşünün - zil gürültüsünün çok kısa geçici süreleri vardır, oysa bas gitarın değişmesi daha uzun sürer). Aslında, en kısa ölçekte (tüm vardiya konumlarında örneklemeniz varsayalım), bir sinyalin tam gösterimini elde edersiniz (yalnızca bu ölçekte katsayıları kullanarak yeniden oluşturabilirsiniz). Ölçek örneklemenin gerekçesi hakkında pek emin değilim. BEN' Bunu önerilenlerin logaritmik olarak gördüklerini, sanırım kısa ölçekler arasında daha yakın bir boşluk bıraktıklarını düşünüyorum. Bunun sebebi, daha uzun ölçeklerdeki dalgacıkların daha geniş bir Fourier dönüşümüne sahip olmalarıdır (bu nedenle daha fazla frekansı "toplarlar").

FWT'yi tam olarak anlamadığımı itiraf ediyorum. Benim önsezim, aslında vardiya / skaladaki minimum örneklemedir ve yedekli bir temsil değildir. Fakat daha sonra, istenmeyen eserler ortaya koymadan kısa sürede bir sinyali analiz etme (ve çözme) yeteneğini kaybettiğinizi düşünüyorum. Bununla ilgili daha fazla bilgi okuyacağım ve eğer yararlı bir şey öğrenirsem rapor edeceğim. Umarım diğerleri yorum yapmaktan hoşlanır.

Haar dalgacık kasasını düşünün. Hızlı Dalgacık Dönüşümü, sinyalinizi tekrar tekrar alt bölümlere ayırır ve her iki yarıya ait toplamı ve farkı hesaplar. Fark, mevcut dalgacık için dönüşümün büyüklüğüdür ve toplamın, frekansın yarısı olan bir dilate dalgacık için dönüşümün büyüklüğünü hesaplaması için toplayıcı için geri getirilmiştir. Bu nedenle FWT, verdiğiniz diyagramda açıklanan deseni kullanarak zaman-frekans düzlemini kaplar.

Verdiğiniz diyagramın biraz yanıltıcı olduğuna dikkat edin. Gerçekten anlatmaya çalıştıkları şey, en düşük frekansta bir örnek, iki frekansta iki örnek, dört frekansta dört örnek ve bu sıklığı elde etmektir. Her dalganın zaman-frekans özellikleri, kiremitlerini örtecek şekilde değildir . Uygulamada, her dalgacık sonsuz bir alanı kapsayacaktır, çünkü bunlar kompakt bir desteğe sahiptir ve bu nedenle, frekans açısından tamamen yerinden edilmesi gerekir. Öyleyse sadece bu karoların merkezlerini düşünmelisin.

Ayrıca, FWT, CWT için sürekli dalgacıklardan çok daha kısıtlayıcı bir kabul edilebilirlik kriterine uyması gereken ayrı bir dalgacık gerektirir. Sonuç olarak, ayrık dalgacıkların zaman-frekans özellikleri genel olarak berbattır (örneğin, Daubechies dalgacıkları keskin özelliklerle doludur veya değişen frekansa sahiptir) ve zaman-frekans düzleminin faydası, FWT bağlamında büyük ölçüde azaltılmaktadır. Bununla birlikte, sinyallerin zaman-frekans gösterimlerini hesaplamak için sürekli dalgacıklar kullanılır.

Referansınızda şöyle var:

Küçük sonlu dalgaların veya dalgacıkların ortogonal temeline dayanan bir dizi katsayı

Daha fazla bilgi için DWT sayfasını beğenebilirsiniz . Orada Haar dalgacıklarını, Daubechies dalgacıklarını ve diğerlerini tanıtıyor. Nasıl olduğunu gösteriyor

• Dalgacıkların yeri vardır - (1,1, –1, –1) dalgacıkları “sağ taraf” karşısında “sol tarafa” karşılık gelirken, son iki dalgacık sol veya sağ tarafta bir desteğe sahiptir diğerinin.
• Sinüzoidal dalgaların yeri yoktur - tüm alana yayılırlar - ancak fazları vardır - ikinci ve üçüncü dalgalar birbirinden bağımsızdır, bunlar kosinüs ve sinüs gibi faz dışı 90 ° 'ye tekabül ederler. .

Ayrık dalgacıklar yerine, şimdi sürekli dalgacıklar veya karmaşık dalgacıklar hakkında konuşmak istiyorsanız dalgacık serileriyle başlayabilirsiniz .

Wikipedia ötesinde, bir ders kitabı ve bir kurs iyi yapabilir.

$O(N^2)$

$O(N)$$O(N\log(N))$$O(\cdot)$

Genel pencereli STFT'den (sürekli form) başlayın . Sonsuz bir birim yüksekliği penceresine takarsanız, Fourier dönüşümünü özel bir durum olarak kurtarırsınız. Hangi isteğe bağlı (ve DFT olsun) ve hızlı hale getirin (ve FFT olsun).

Bir CWT'den başlayın (sürekli form). Sürekli CWT inanılmaz miktarda potansiyel dalgacık şekli kabul eder. Tam olarak sadece bazı "Heisenberg" eşitsizliğine saygı duyan örnekleme modelleriyle (zaman veya ölçek olarak) ayrılabilir: birim yüzey başına bir örnek. Bu modeller dalgacıklara bağlıdır. Çoğu durumda, desenler yedekli olan bir ayrıklaştırılmış CWT yapar ve bir dalgacık çerçevesi oluşturur.

Bazıları bunun gereksiz kalmasını istedi, bunun dyadic bir ölçekle (DWT). Sadece çok az dalgacık (hala sonsuz sayıda, fakat onları tesadüfen bulamıyorsunuz) buna izin veriyor. Bunlardan ilki, Haar, Franklin ve Meyer dalgacıklarıydı. Eğer dalgacık desteğini sonlu olarak empoze ederseniz, Haar uzun bir süre boyunca tek olan oydu. "Doğal sürekli dalgacıklardan" ortogonal bir dalgacık elde etmek neredeyse imkansız, bu nedenle Daubechies'in yarattıkları ve daha sonra Symmlet'ler ve Coiflet'ler . Bu garip şekilli dalgacıkların Morlet dalgacık gibi hoş ve basit formülleri yoktur.

$O(N)$

Aslında, FWT sadece CWT'nin ayrık bir örneklemesidir.

DWT (veya FWT), DFT / FFT gibi aynıdır. Diğer ayrıklaştırılmış CWT'lerin çoğu (herhangi bir dalgacık ile) yaklaşık olarak böyledir (yeterli fazlalığa sahipseniz çok fazla zarar vermeden).

Yani:

• $k$$k$$k$$8$$0$$4T$$2\times 4$$2$$4$$[\omega/2,\omega]$$4$$2\times2$$2$$[\omega/8,\omega/4]$$[1,1,2,4]$
• $k$
• $+$$\times$$O(N)$

Aşağıdaki resimler Haar dalgacıklarının sürekli bir versiyonunun nasıl olduğunu gösteriyor

dikgen, kesikli bir dalgacıkta örneklenebilir:

Bazı ayrık dalgacıkların, özellikle uzun olanların (spline gibi) bazen bir FFT kullanılarak hesaplandığına dikkat edin :)