Fourier dönüşümü neden bu kadar önemli?

129

Sinyal işleme tartışılırken herkes Fourier dönüşümünü tartışıyor. İşleme sinyal vermek neden bu kadar önemlidir ve sinyal hakkında bize ne anlatır?

Sadece dijital sinyal işleme için mi kullanılıyor, analog sinyaller için de mi geçerli?

fourier-transform

— jcolebrand
kaynak

10

Son zamanlarda Fourier dönüşümleriyle ilgili bir tartışma matematikte yeniden gündeme geldi. SE, ve bu sitedeki insanların bazılarını değerli bulabileceklerini ve hatta katılmak isteyebileceklerini düşündüm.

— Dilip Sarwate

1

bakınız Bazı mükemmel tarihi geçmiş için bu cevap . Fourier serileri, en azından Ptolemy'nin epiklik astronomisine kadar uzanıyor . Bir Fourier dizisi daha terimler ekleyerek daha eksantrikler ve epicycles, benzer ekleme, bir hesaba olabilir bir gökyüzünde bir nesnenin, sürekli hareket.

— Geremia

144

Bu oldukça geniş bir sorudur ve tam olarak Fourier dönüşümlerinin sinyal işlemede neden önemli olduğunu saptamak oldukça zordur . Verebileceği en basit, el sallama yanıtı , sinyallerinizi farklı bir alanda görüntülemenizi sağlayan son derece güçlü bir matematiksel araç olduğu ve bunun içinde birkaç zor sorunun analiz edilmesi çok basit hale geldiğidir.

Neredeyse her mühendislik ve fizik bilimleri alanındaki her yerde, her biri farklı sebeplerden dolayı yaygınlığı, bir nedeni daraltmayı daha da zorlaştırıyor. Umarım bazı pratik örneklerle birlikte tarihin yaygınlaşmasına yol açan özelliklerinin bazılarına bakmak, onun önemini anlamada yardımcı olabilir.

Tarih:

Fourier dönüşümünün önemini anlamak için biraz geri adım atmak ve Fourier serisinin Joseph Fourier tarafından ortaya konan gücünü takdir etmek önemlidir. Bir ceviz kabuğuna, alanına entegre edilebilecek herhangi bir periyodik işlev sonsuz sinüs ve kosinüs toplamı olarak yazılabilir. $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

burada . Bir fonksiyonun kurucu frekanslarına (yani tüm frekansların sinüs ve kosinüslerine) parçalanabileceği düşüncesi güçlüdür ve Fourier dönüşümünün bel kemiğini oluşturur. $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

Fourier dönüşümü:

Fourier dönüşümü, yukarıdaki Fourier serisinin periyodik olmayan fonksiyonlara bir uzantısı olarak görülebilir. Bütünlük ve açıklık için burada Fourier dönüşümünü tanımlayacağım. Eğer , sürekli, integre sinyal, daha sonra Fourier dönüşümü, ile verilir $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

ve ters dönüşüm

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

Sinyal işlemede önemi:

Öncelikle ve en önemlisi, bir sinyalin Fourier dönüşümü size sinyalinizde hangi frekansların bulunduğunu ve hangi oranlarda olduğunu söyler .

Örnek: Bir arama sırasında tuşuna bastığınızda, telefonunuzun sayı düğmelerinin her birinin farklı ses çıkardığını ve her telefon modeli için aynı olduğunu hiç fark ettiniz mi? Bunun nedeni, her birinin düğmeyi benzersiz bir şekilde tanımlamak için kullanılabilecek iki farklı sinüzoidden oluşmasıdır. Telefonunuzu bir menüde gezinmek için kombinasyonlar halinde kullanmak üzere kullandığınızda, diğer tarafın hangi tuşlara bastığınızı bilme biçimi, girişin bir Fourier dönüşümü yapmak ve mevcut frekanslara bakmaktır.

Matematiği basitleştiren çok kullanışlı bazı temel özelliklerin yanı sıra, sinyal işlemede bu kadar yaygın olmasının diğer nedenlerinden bazıları şunlardır:

Fourier dönüşümünün büyüklüğü, anında bize sinyalinin belirli bir frekansında ne kadar gücünün olduğunu gösterir . $\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
Parseval teoreminden (daha genel olarak Plancher teoreminden), , bu , tüm zamanlar boyunca bir sinyal içindeki toplam enerjinin, tüm frekanslardaki dönüşümdeki toplam enerjiye eşit olduğu anlamına gelir . Böylece, dönüşüm enerji korur. $\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
Zaman alanındaki dönüşmeler, frekans alanındaki çarpmalara eşdeğerdir, yani iki sinyal ve verildiğinde , $x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ burada evrişimi belirtir, sonra nin Fourier dönüşümü yalnızca $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
Kesikli sinyaller için, verimli FFT algoritmalarının geliştirilmesiyle hemen hemen her zaman, frekans alanında bir evrişim işlemi uygulamak, zaman alanında olduğundan daha hızlıdır.
Evrişim işlemine benzer şekilde, çapraz-korelasyonlar, frekans alanında olarak kolayca uygulanır ; burada , karmaşık konjügeyi belirtir. $Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
Sinyalleri oluşturucu frekanslarına bölerek birileri, bazı frekansları seçici olarak katkılarını kaldırarak kolayca engelleyebilir.

Örnek: Eğer bir futbol (futbol) hayranıysanız, Güney Afrika'daki 2010 dünya kupası boyunca tüm yorumları boğulan vuvuzeların sürekli uçağında rahatsız olmuş olabilirsiniz. Bununla birlikte, vuvuzela, yayıncıların rahatsız edici gürültüyü kesmek için bir çentik filtresi uygulamalarını kolaylaştıran, ~ 235Hz'lik sabit bir kademeye sahiptir. ^[1]
Zaman alanındaki kaydırılmış (gecikmeli) bir sinyal, frekans alanındaki bir faz değişikliği olarak kendini gösterir. Bu, temel özellik kategorisine girerken, uygulamada, özellikle görüntüleme ve tomografi uygulamalarında yaygın olarak kullanılan bir özelliktir.

Örnek: Bir dalga heterojen bir ortamdan geçtiğinde, ortamdaki dalga yayılma hızındaki değişikliklere bağlı olarak yavaşlar ve hızlanır. Bu nedenle, fazda beklenen ve ölçülen değerden bir değişiklik gözlemleyerek kişi, ortada dalga hızının ne kadar değiştiğini söyleyen aşırı zaman gecikmesine neden olabilir. Bu, elbette, çok basitleştirilmiş bir işten çıkarmanın açıklamasıdır, ancak tomografi için temel oluşturur.
Sinyallerin türevleri (N ^th edilebilir çok türevleri) kolayca hesaplanabilir Fourier dönüşümleri kullanarak (106).

Dijital sinyal işleme (DSP) vs. Analog sinyal işleme (ASP)

Fourier dönüşümleri teorisi, sinyalin "güzel" ve tamamen bütünleştirilebilir olduğu sürece sürekli veya ayrık olmasına bakılmaksızın uygulanabilir. Yani evet, ASP, sinyaller bu kriteri sağladığı sürece Fourier dönüşümlerini kullanır. Bununla birlikte, ASP'de genelleştirilmiş bir Fourier dönüşümü olan Laplace dönüşümleri hakkında konuşmak belki daha yaygındır. Laplace dönüşümü

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

Bunun avantajı, Fourier dönüşümünde olduğu gibi birinin mutlaka "güzel sinyallerle" sınırlı olmamasıdır, ancak dönüşüm sadece belirli bir yakınsama bölgesinde geçerlidir. Yaygın olarak radyo / elektro gitar, wah-wah pedallar vb. Kullanılan LC / RC / LCR devrelerinin incelenmesinde / analiz edilmesinde / tasarımında kullanılır.

Bu hemen hemen şu anda düşünebildiğim, ama unutmayın do hepsi hiçbir tutar yazma / açıklama tamamen Fourier gerçek önemi sinyal işlemede dönüşür ve bilim / mühendislik yakalayabilir

— Lorem Ipsum
kaynak

2

FT ve özelliklerini kullanarak bazı realworld uygulama veren güzel cevap. +1.

— goldenmean

3

@endolith Fourier dönüşümünün ilk olduğunu söylemedim, sadece güçlü . Bir Taylor serisinin kurucu frekanslar açısından bir genişleme olmadığını unutmayın . Örneğin için, Taylor serisi yaklaşık olduğu , Fourier ise dönüşümü olan (elde veya normalizasyon faktörleri alır). İkincisi, doğru frekans gösterimidir, bu nedenle Taylor serileriyle yapılan karşılaştırmaların burada uygun olup olmadığından emin değilim.

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

— Lorem Ipsum

6

Bu cevabı okumaya başladığımda, aslında kim olduğunu görmek için aşağı inmeden önce @ yoda'nın yazdığını biliyordum.)

— Phonon

2

3 üzerinde yoğunlaşmak için: Evrişim, ortalama bir filtre veya Gaussian bir filtre gibi bir görüntüye filtre uyguladığınızda yaptığınız şeydir (doğrusal olmayan filtreleri Fourier-dönüştüremezsiniz).

— Jonas

1

Peter K'nin amacı çok kritik. Sinyaller, birçok farklı temele göre temsil edilebilir . Sinüs ve kosinüsler, LTI sistemlerinin özfonksiyonları oldukları için özeldir.

— nibot

53

Lorem Ipsum'un büyük cevabı bir şeyi özlüyor: Fourier dönüşümü, sinyalleri kurucu karmaşık üstellere ayrıştırıyor:

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

ve karmaşık üstel olan özfonksiyonlar için , lineer, zamanla değişmeyen sistemler .

Basitçe söylemek gerekirse, eğer bir sistem, doğrusal ve zamanla değişmez ise, karmaşık bir üstel olana karşı tepkisi aynı frekansın karmaşık bir üsteli olacaktır fakat (muhtemelen) farklı faz, ve genlik, , --- ve genlik sıfır olabilir: $H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

Bu yüzden Fourier dönüşümü, doğrusal, zamanla değişmeyen sistemleri analiz etmek için kullanışlı bir araçtır.

— Peter K.
kaynak

@Peter K. Sanırım bir cevabın "popülerliğine" ilişkin (akademik) doğruluk konusundaki seçim felsefesinin ardından, cevabınız, 96 ile cevap olarak seçilmesine rağmen, Lorem Ipsum tarafından verilen yukarıdaki cevaba entegre edilmelidir. kullanıcıların puanları, bu çok önemli bakış açısına sahip değil.

— Fat32,

@Peter Bu istekle sizi rahatsız ettiğim için üzgünüm, ancak 1) siz bir moderatörsünüz, 2) adınız beamforming etiketinizle "etkin" kullanıcılar listesinde göründü. Math.SE'deki bu yazının burada iyi karşılanıp alınmayacağına dair hızlı bir fikir verebilir misiniz ? DSP.SE, Math.SE veya EE.SE’nin bu soruma yardımcı olma konusunda en iyi şansı olup olmadığından emin değilim. (Bir Math.SE moderatörü olarak yapabileceğim) geçişi düşünüyorum.

— Jyrki Lahtonen

@Peter K., Lütfen soruyu tekrar açabilir misiniz: dsp.stackexchange.com/questions/37468 . Onardım. Teşekkür ederim.

— Royi

@Royi zaten açık?

— Peter K.

Peter (Nasıl bazı insanlara kullanarak yaklaşılabilir @ve bazıları yapamaz? Bunun seçeneği nerede?), Biri açılmış gibi görünüyor. Teşekkür ederim.

— Royi

16

Diğer sebep:

Bu var oruç nedeniyle etmek, (konvolüsyon için örneğin faydalıdır) linearithmic zaman karmaşıklığı (ve özellikle bu FFT ).
Eğer böyle olmasaydı, muhtemelen zaman alanında çok daha fazla ve Fourier alanında daha az şey yapacağımızı iddia edecektim.

Düzenleme: İnsanlar FFT'nin neden hızlı olduğunu yazmamı istediğinden beri ...

Çünkü akıllıca fazladan çalışmaktan kaçınır.

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

Bununla birlikte, görünüşte sıradan bir gözlem yapabiliriz: iki polinomu çoğaltmak için katsayıları FOIL'a ihtiyacımız yoktur . Bunun yerine, basitçe yapabilirsiniz değerlendirmek , puan (yeterli) sayıda polinomları bir yapmak noktasal değerlendirdi değerlerin çarpma ve ardından interpole sonucu geri almak için.

$n$ $2n$ $\approx n^2$

Ama doğru yaparsak yapar! Tek bir polinomun birçok noktada bir kerede değerlendirilmesi, "doğru" noktaları değerlendirirsek , bu noktalarda bireysel olarak değerlendirmekten daha hızlıdır . "Doğru" noktalar nelerdir?

$z$ $z^n = 1$

Sadece birliğin ters köklerini kullanarak, sonucun polinom katsayılarını geri almak için noktalar arasında enterpolasyon yapmak için çok benzer bir işlem yapabiliriz .

$n \log n$ $n^2$

Bu nedenle FFT'yi tipik bir işlemi (polinom çarpımı gibi) daha hızlı yapmak için kullanma yeteneği, onu kullanışlı kılan şeydir ve bu nedenle MIT'nin Sparse FFT algoritmasını yeni keşfetmesi nedeniyle insanların şimdi heyecanlanmasının nedeni budur .

— Mehrdad
kaynak

Lineeritmik zaman karmaşıklığı nedir? Bu cevabı düşürmeyeceğim, ancak Fourier dönüşümleri hakkındaki bu tartışmaya değerli bir şey kattığını sanmıyorum .

— Dilip Sarwate

1

@DilipSarwate O (n * log (n)) için steno olarak kullandığından şüpheleniyorum.

— Jim Clay

@DilipSarwate: Jim haklı. (Ayrık) Fourier dönüşümü ile ilgili her şeye sahiptir . FFT olmadan, Fourier dönüşümleri zamanı orantılı alacağını meydanda onları çok daha az kullanışlı hale getirir girdi büyüklüğü,. Ancak, FFT ile, girişin boyutu ile orantılı olarak zaman alırlar (logaritmasının çarpı), bu da onları daha faydalı kılar ve bu da çok fazla hesaplama yapılmasını hızlandırır. Ayrıca bu ilginç bir okuma olabilir.

— Mehrdad,

Neden hızlı olduğunu söylemelisin. Nerede hızlı ve niçin hızlı olduğunu umursuyoruz?

— CyberMen

1

Bence bu cevap meşru. Fıkra edilmesi gerekir - "Diğer insanların cevaplarında açıklanan tüm güzel özelliklerin yanı sıra FFT, gerçek zamanlı uygulamalarda uygulanabilir bir yaklaşım haline gelmesine izin verir".

— Andrey Rubshtein

15

$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

EDIT: Nitekim olarak, diferansiyel (ve integral) operatörler LSIV operatörleridir, buraya bakınız .

— Chaohuang
kaynak

8

Bu konudaki diğer cevapların bazıları, Fourier dönüşümünün tanımı ve özellikleri ile ilgili mükemmel matematiksel tartışmalara sahiptir; Bir ses programcısı olarak, sadece benim için neden önemli olduğu konusunda kendi kişisel sezgimi sunmak istiyorum .

Fourier dönüşümü, başka yöntemlerle cevaplaması zor veya imkansız bir ses hakkındaki soruları cevaplamama izin veriyor. Zor problemleri kolaylaştırır.

Bir kayıt üç müzik notası içerir. Notlar neler? Kaydı zaman içinde bir dizi genlik olarak bırakırsanız, bu kolay bir problem değildir. Kaydı zaman içinde bir dizi frekansa dönüştürürseniz, bu gerçekten kolaydır.

Süresini değiştirmeden bir kaydın perdesini değiştirmek istiyorum. Bunu nasıl yaparım? Bir giriş sinyalinin genliğini değiştirerek mümkündür, ancak yapılması kolay değildir. Ancak, sinyali oluşturan frekansları biliyorsanız kolaydır.

Bu kayıt konuşma içeriyor mu, müzik içeriyor mu? Sadece genlik tabanlı yöntemler kullanarak yapmak süper zor. Ancak, Fourier dönüşümü ve ailesine dayanarak neredeyse her zaman doğru cevabı tahmin eden iyi çözümler var.

Dijital ses kaydı hakkında sormak istediğiniz hemen hemen her soru, Fourier dönüşümünün ayrı bir sürümünü kullanarak kaydı dönüştürerek daha kolay hale gelir.

Uygulamada, her modern dijital ses cihazı, Fourier dönüşümüne çok benzeyen fonksiyonlara dayanır.

Yine, son derece gayrı resmi açıklama affet; Fourier dönüşümünün neden önemli olduğu konusundaki kişisel sezgim budur .

— johnwbyrd
kaynak

Hey John, aptal bir sorum var. TWA'yı ( osha.gov/pls/oshaweb/… ) bir işyerinde kaydettiğimiz sesten hesaplamak istiyorum , ses dosyamın analizinde Fourier Dönüşüm'ü kullanırsam bu değeri daha kesin olarak ölçüp ölçemeyeceğimi merak ediyorum.

— Hossein Sarshar

Mikrofon ve kayıt ortamı kalibre edilmedikçe, hayır.

— johnwbyrd

6

Diğer insanlar harika, faydalı cevaplar verdiler. Sadece bazı sinyalleri düşünün: zaman alanıyla değil, içinde (ve fazlarında) hangi frekansların bulunduğunu önemsiyorsunuz. Bunun kesin veya tam bir cevap olduğunu bilmiyorum, ancak Fourier dönüşümünün faydalı olmasının başka bir nedeni.

Bazı sinyalleriniz olduğunda, örnekleme hızınıza bağlı olarak, sonsuz (veya yakın) bir sayıdaki frekanstan oluşabilir. Ancak durum böyle değil: Çoğu sinyalin mümkün olan en az sayıda frekansa sahip olduğunu veya yeterince yüksek bir hızda örnekleme yaptığımızı biliyoruz.

Bunu biliyorsak, neden kullanamıyoruz? Sıkıştırılmış algılama alanı böyle yapar. En muhtemel sinyalin en az hataya sahip ve en az frekansa sahip olduğunu bilirler. Böylece, ölçümlerimizle ilgili genel hatayı ve Fourier dönüşümünün büyüklüğünü en aza indirirler.

Birkaç frekansın bir sinyali genellikle minimal Fourier dönüşümü ya da çoğunlukla sıfır (sıkıştırılmış algılamada söyledikleri gibi "seyrek") olur. Örneğin, bir frekansın sinyali sadece dönüşüm olarak bir delta fonksiyonuna sahiptir.

Resmi matematiksel tanımı da kullanabiliriz.

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

Nyquist'in iyi bir temsil almak için en yüksek frekansın iki katını ölçmeniz gerektiğini söylediğini hatırlayabilirsiniz. Bu, sinyalinizde sonsuz frekanslar olduğunu varsayıyordu. Bunu aşabiliriz!

Sıkıştırılmış algılama alanı, bazı alanlarda çoğunlukla sıfır (veya seyrek) olan herhangi bir sinyali yeniden oluşturabilir. Fourier dönüşümü için durum böyle.

— Scott
kaynak

5

Fourier dönüşümünün asıl önemi sistem analizidir. Evrenimizin temel kurgusu vakumdur ve vakum, temel olarak doğrusal ve zamanla değişmeyen bir alan taşıyıcısıdır: farklı alanlar kendi vektörlerini ekleyerek üst üste binerler ve belirli alanların uygulamalarını ne zaman tekrarlarsanız tekrarlayın, sonuç aynı olacaktır. .

Sonuç olarak, fiziksel maddeyi de içeren birçok sistem doğrusal, zamanla değişmeyen sistemler gibi davranan iyi bir yaklaşımdır.

Bu tür LTI sistemleri "dürtü yanıtı" ile tanımlanabilir ve zamana dağılmış herhangi bir sinyale cevap, dürtü yanıtı ile sinyal sarılarak tanımlanır.

Evrişim değişmeli ve birleştirici bir işlemdir, ancak aynı zamanda oldukça hesaplamalı ve kavramsal olarak pahalıdır. Bununla birlikte, fonksiyonların evrimi Fourier dönüşümü ile parçalı çarpıma dönüştürülür.

Bu, doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin ve bunların kombinasyonlarının özelliklerinin Fourier dönüşümünden sonra daha iyi tanımlandığı ve manipüle edildiği anlamına gelir.

Sonuç olarak, "frekans tepkisi" gibi şeyler, pek çok sistemin davranışını tanımlamak için oldukça karakteristiktir ve onları karakterize etmek için faydalıdır.

Hızlı Fourier dönüşümleri "Fourier dönüşümlerinin aksine" neredeyse ama tamamen değil, sınıfındadır, çünkü sonuçları teoride sıkıca yönlendirildiği halde Fourier dönüşümleri gibi gerçekten mantıklı bir şekilde yorumlanamaz. Fourier dönüşümlerine tekabül ederler, sadece dönüşüm aralığının periyodikliği ile örneklenmiş bir sinyal hakkında konuşurken. Özellikle "periyodiklik" kriteri neredeyse her zaman karşılanmamaktadır.

Örtüşen pencereleme işlevlerinin kullanımı gibi, bununla ilgili birkaç teknik vardır.

Ancak FFT , işleri doğru yaparken ayrık zamanlı evrişim yapmak için kullanılabilir ve bu, birçok şey için faydalı kılan verimli bir algoritmadır.

Temel FFT algoritması, insan sayıları veya polinomları çarparken olduğu gibi hızlı evrişim yapmak için sayı teorik dönüşümleri (karmaşık "gerçekler" yerine ayrık sayı alanlarında çalışan) için de kullanılabilir. Bu durumda, "frekans alanı", temelde herhangi bir giriş için beyaz parazitten ayırt edilemez ve ters dönüşümü tekrar yapmadan önce yararlı bir yorumu yoktur.

— David
kaynak

2

fourier dönüşümünün fiziği, sinyalde mevcut olan frekansların göreceli genliğini anlatmasıdır. hem ayrık zaman hem de sürekli zaman sinyali için tanımlanabilir. Herhangi bir sinyal birçok harmonik frekansın karışımı olarak gösterilebilir. Fourier dönüşümü, sadece belirli frekans aralığına ihtiyaç duyduğumuz filtre uygulamalarında yardımcı olur, o zaman önce sinyalde bulunan frekansların genliğinin ne olduğunu bilmemiz gerekir.

— vatsyayan
kaynak