FFT zaman alanı ortalaması ve frekans kutusu ortalaması

Birden fazla fizyolojik veri denemem var. Belirli ilgi frekanslarında gücü (genlik) analiz etmek için frekans tabanlı bir analiz yapıyorum. Eşit uzunlukta birden fazla çalışmanın ortalamasını almak ve sonra her bir çalışma için FFT hesaplamak yerine ortalama sinyalin tek bir FFT'sini almak ve daha sonra frekans kutularının ortalamasını almak aynı mıdır? Uygulamada bunun böyle olmadığını görüyorum.

Spesifik olarak, sinyal doğal olarak güçlü bir 1 / f bileşenine sahiptir ve her bir çalışmanın FFT'sini hesaplar ve daha sonra her frekans bölmesinin genliklerini (gerçek kısım) ortalama yaparsam bu vurgulanır. İki eşdeğer mi? bir şeyler yapmanın doğru bir yolu var mı? veya hangi ilkeli koşullar altında zaman alanı ortalaması ile frekans kutusu ortalaması ortalaması arasında seçim yapılmalıdır?

Açıklığa kavuşturayım.

• Fourier gelmez dönüşümü olmayan sinyalin histogram temsil eder. Fourier dönüşümü, zaman alanından (karmaşık fonksiyon) frekans alanına (başka bir karmaşık fonksiyon) sinyal alan doğrusal bir dönüşümdür. Karmaşık bir işlevi başka bir karmaşık işleve götürür.
• Fourier dönüşümü , yukarıdaki afişin işaret ettiği gibi doğrusaldır.
• Örneklerinizdeki faz yukarıda belirtildiği gibi önemlidir. Deneme yoluyla deneme verileri fazda değişiklik gösteriyorsa, bir Fourier dönüşümü yapmadan önce ortalama almak istemezsiniz, ancak Fourier dönüşümünden sonra da ortalama almak istemezsiniz. Fourier dönüşümü ve normundan sonra ortalama almak istiyorsunuz. Aşağıda, tam olarak ne yapılması gerektiğine değineceğim.

Burada asıl mesele, sorunun yanlış sorulmasıdır. "Ortalamadan önce veya ortalamanın ardından Fourier dönüşümünü almalıyım" değildir. Çünkü Fourier dönüşümünün doğrusallığı nedeniyle fark etmez.

Sorulması gereken doğru soru, "ortalamadan önce veya ortalamanın ardından Fourier dönüşümünün genliğini almalıyım" dır. Bu soru için cevap daha önce.

Detaylar burada.

Örneklenen verilerinizin dizilerle temsil edildiğini varsayalım:

$d_1=d_1[n_1],d_1[n_2],...d_1[n_N]$

$d_2=d_2[n_1],d_2[n_2],...d_2[n_N]$

$d_3=d_3[n_1],d_3[n_2],...d_3[n_N]$

...

$d_M=d_M[n_1],d_M[n_2],...d_M[n_N]$

burada M çalışmalar ve veriler , n , 1 , . . . n N örneklenmiş zaman noktalarıdır, o zaman:$d_1,...d_M$$n_1,...n_N$

$F_1 = \sum_{j=1}^M{|\mathcal{F}\{d_j\}|} \neq |\mathcal{F}\{\sum_{j=1}^M{d_j}\}| = F_2$

Dönüşüm doğrusal olsa da, | F | değil.$\mathcal{F}$$|\mathcal{F}|$

Ayrıca, tüm i için gerçekken , j , F { d j } değil, | F { d j } | dır-dir.$d_j[n_i]$$i,j$$\mathcal{F}\{d_j\}$$|\mathcal{F}\{d_j\}|$

Yapmanız gerekenler konusunda, bireysel çalışmaların Fourier dönüşümünü (FFT aracılığıyla) almalı, bireysel çalışmaların genliğini almalı ve birlikte ortalamaya almalısınız.

Son olarak, . 1 / f "doğal" sinyallerin frekans spektrumu için kısa bir terimdir (genellikle insanlar görüntüleri düşünür).$1/f$$1/f$

İnsanlar büyük bir bileşeni olduğunu söylediğinde, frekansın bir fonksiyonu olarak genliğin 1 / f'ye benzediği anlamına gelir . Tamamen elle dalgalı ... muhtemelen bir biyologdan geliyor: p$1/f$$1/f$

ters Fourier dönüşümü bir işaret fonksiyonudur, ancak bu işe yaramaz. Hayali bir işaret fonksiyonudur! Gerçek fonksiyonlar simetrik Fourier dönüşümü üretir.$1/f$

Aslında, spektrumun söylemek, sinyal hakkında bir şey söyler, ancak sinyali kurtarmanıza izin vermez. Tüm bildiğiniz bu | F { x ( t ) } | = | 1 / f | . Bu, x ( t ) 'yi benzersiz bir şekilde belirlemenize izin vermez, çünkü tüm faz bilgileri gitmiştir ve bir sinyalin yapısının fazına büyük ölçüde bağlı olduğunu biliyoruz .$1/f$$|\mathcal{F}\{x(t)\}| = |1/f|$$x(t)$

Ne gelmez söyleyen oldu mu? Basitçe çok düşük frekans ve biraz yüksek frekans içeriyor.$1/f$

Ne kadar önemli bir soru, ortalama almak size ne kazandırır? ve daha önemlisi sonucu nasıl yorumlayabilirim? Daha ayrıntılı bir tartışma için yarını ayarlayın: p

İlk olarak, FFT bir algoritmadır. Dönüşüme Fourier Dönüşümü denir! Sinyallerin histogramını temsil eder. Ayrık durumda, frekans alanlarında yüksek bir okuma, bu frekansta çok fazla enerji anlamına gelir.

Faz bilgileri verilerde önemli değişikliklere neden olacağından FFT'den önceki verileri ortalamamalısınız.

Her biri saf kosinüs içeren 2 örnek düşünün. Gerçek dünyada bu kosinüsü asla aynı başlangıç ​​noktasında yakalayamazsınız. Bir kosinüs diğerine göre değişecek (ya da her ikisinin de başlangıca göre değişen farklı vardiyaları olacaktır). iki aynı şey olarak daha iyi görünür.Küçük bir matematik ile bu değerleri seçebilirim ki y2-y1 = 0. Sıfır ortalaması sıfırdır ve tamamen istediğiniz şey değildir.Bu aşama problemidir.

Hedefiniz spektrumlar arasında ortalama almanız gereken ortalama spektrumu bulmaksa, sinyalleri ortalamayın!

Tamamen temelden uzak kalmadıkça ya da sorunuzu yanlış anlamadığım sürece, cevap evettir : DFT'nin doğrusallığıyla, zamandaki sinyallerin ortalamasını almak ve daha sonra ortalamanın DFT'sini almak, sinyallerin DFT'lerinin ortalamasına eşittir.

Bunu göstermek için bazı değişkenleri tanımlayalım:

• $x_{n}[\ell]$$\ell^{th}$$n$
• $X_{k}[\ell]$$\ell^{th}$$k$

Zaman alanındaki "ortalama" sinyali ile verilir.$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} x_{n}[\ell]$

$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{L} \sum_{\ell}^{L} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N}$

Özetlerin sırasını değiştirerek, yazabiliriz

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N},$

ama bu aynı

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} X_{k}[l]$

her üç değerin DFT'lerinin ortalaması ile aynıdır. Bunu göstermek istedik.