Bir filtrenin sıfır grup gecikmesi nasıl olabilir?

1. sıra düşük geçişli filtrenin geçiş bandından bir dalga paketi koyarsanız, filtrenin grup gecikmesi ile geciktirilir ve aynı genlik kalır, değil mi?

Aynı dalga paketini aynı kesme frekansına sahip tamamlayıcı 1. dereceden bir yüksek geçiş filtresine koyarsanız, grup gecikme eğrisi aynıdır, bu nedenle paketin gecikmesi aynı olacaktır, ancak kazanç çok daha düşük olacaktır, bu yüzden ihmal edilebilirlik açısından hem gecikmeli hem de zayıflatılmalıdır.

Üstgeçit filtresinin çıkışı çok küçük olduğundan, bu iki filtrenin çıkışlarını (bir ses geçişinde olduğu gibi) toplarsanız, alçakgeçiren filtrenin çıkışından ihmal edilebilir derecede farklı olmasını beklerim: Büyük gecikmeli sinyal + çok küçük gecikmeli sinyal = büyük gecikmeli sinyal.

Ancak filtre yanıtlarını toplarsanız, genlik her yerde 0 dB'dir ve faz her yerde 0'dır ve bu nedenle grup gecikmesi 0 olur, bu da dalga paketinin gecikme olmadan ve değişiklik olmadan çıkacağı anlamına gelir. Bunun nasıl mümkün olabileceğini anlamıyorum. Filtreler her zaman gecikmeye neden olmaz mı? Bir filtre (pozitif grup gecikmesi de vardır), özellikle de durdurma bandında olduğunda, diğer kanalın neden olduğu gecikmeyi nasıl geri alabilir?

Burada hangi kısmı yanlış anlıyorum?

Doğrusal faza sahip en iyi bilinen geçit türleri, birinci dereceden ters çevrilmemiş geçişlerdir, ... Birinci dereceden geçiş, çıkışları normal olarak toplandığında minimum fazdır; 0 ° 'de düz faz grafiğine sahiptir. - Aktif Geçişlerin Tasarımı

ve

Burada çıktıları bir araya getirmenin sonucu 0 ° faz kayması üretir, yani 1. dereceden bir geçişin toplam genliği ve faz kayması bir tel parçasına eşdeğerdir. - Linkwitz-Riley Geçitleri: Bir Astar: 1. Dereceden Geçiş Ağları

(Mavi) alçak geçiren beklendiği gibi darbe geciktirir nasıl gerçek bakliyat şovlarda Test ve (yeşil) üstgeçer orijinali (kırmızı) nabız, üretmek için onunla birleşerek nasıl ama nasıl üstgeçer darbe oluştuğu önce eğer orijinal highpass filtresi nedensel ve pozitif grup gecikmesi var mı? Sezgi beni başarısızlığa uğrattı.

O does hayal olarak yüksek geçiren çıkış olarak ihmal edilemez olduğunu göstermek ve gecikme hayal daha önemsiz olduğunu ve etrafında taşıyıcı frekansını hareket ederken, bu iki özellik orantılı bir şekilde değiştirmek (daha küçük gecikme alt genlik üstgeçer çıkışı gerektirir düzeltmek için). Ama hala gerçekten anlamıyorum.

"Birliğe yeniden yapılanma" nın birkaç ilginç yönü vardır. İlk olarak, iki filtreyi birleştirmenin iki yolu vardır: paralel ve seri. Paralel bir topoloji için çiftlerin birliğe eklenmesi için DAİMA ücretsiz bir filtre bulmak mümkündür. Aslında yeterince kolay. Sadece$\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$. Zaman alanında bu, tamamlayıcı filtrenin impuls tepkisinin basitçe orijinal impuls tepkisinin negatifi olduğu anlamına gelir ve ilk örneğe 1 eklenir. Böylece tüm "ringy" şeyler iptal edilir. Şimdi bu ücretsiz filtrenin şekli her zaman beklediğiniz gibi değil. 1. derece düşük geçiş için aslında bir birinci derece yüksek geçiştir, ancak yüksek dereceli filtreler için kesim bölgesinde aşırı / düşük salınımlara sahip olma eğilimindedir. Bununla birlikte, her zaman kararlı bir nedensel filtre olarak bulunur.

Seri (veya basamaklı) "birliğe yeniden yapılanma" biraz daha karmaşıktır. Açıkçası filtrelerin birbirinin tersi olması gerekir, yani . Genel olarak bu, herhangi bir minimum faz filtresi için yapılabilir. Minimum faz filtresinin tersi de minimum fazdır ve her ikisi de nedensel ve kararlıdır.$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$

Böylece bu, bu gibi durumlarda grup gecikmesini nasıl yorumlayacağımız sorusuyla karşılaşır. Art arda gelen durum aslında daha ilginç. Filtreler birbirinin tersi olduğundan, birinin fazı ve dolayısıyla grup gecikmesi diğerinin negatifidir. Dolayısıyla, frekanslarda bir filtrenin grup gecikmesi pozitif, diğerinin grup gecikmesi negatiftir. Kolay bir örnek, + 6dB kazanç ile düşük bir raf ve 6dB kesim ile düşük bir raftır. Dolayısıyla, negatif grup gecikmeleri çok gerçektir ve kesinlikle nedensellik ihlali değildir. Pratikte, bunlar filtrenin oldukça "düz olmayan" alanlarda ortaya çıkar, bu nedenle "zarfın gecikmesi" nin geleneksel yorumu, oldukça büyük bir genlik bozulması olduğu için geçerli değildir.

Google "negatif grup gecikmesi" yaparsanız, konuyu ele alan birkaç IEEE makalesi bulabilirsiniz.

Bu problemde grup gecikmesinin yanlış uygulanması ya da fizik ya da nedensellik ihlali söz konusu değildir. Grup gecikmesinin, frekansa göre fazın negatif türevi olarak tanımlanması, her filtrenin kendi başına, frekans üzerinde sabit olmayan pozitif bir zaman gecikmesine sahip olmasıdır. Detaylar, filtreler paralel veya seri bağlandığında ne olacağı ile ortaya çıkar.

Bu bir çapraz filtre örneği için iki filtre, gösterilen sonuca ulaşmak için açıkça paraleldir, bu da sonucun 0 grup gecikmesine nasıl sahip olabileceği konusunda çok sezgiseldir: iki filtre, ücretsiz bir düşük geçiş ve yüksek geçiştir; ve paralel bağlandığında, filtrelerin hiçbiri yokmuş gibi davranın (tam geçiş, 0 gecikmeli). Bu filtreler seri olarak bağlanırsa, sonuç çapraz geçişte beklenen bir gecikmeyle bir bant geçişi olur; highpass düşük frekansları zayıflatacak ve lowpass yüksek frekansları zayıflatacak ve çapraz geçişte her iki sinyal de sinyalden -3 dB geçecek ve çaprazlamada 0,5 ve faz = 0 ° büyüklüğüne neden olacaktır. :$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Aşağıdaki blok diyagramda gösterildiği gibi frekans yanıtlarıyla paralel ve frekansta iki doğrusal sistemin genel durumunu düşünün. Katsayıların ve üslerin, ifadeleri basit ve net tutmak için atladığım frekans fonksiyonları olduğunu unutmayın;$A_1 e^{j\phi_1}$ Temsil $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$ ve her iki ifade, yüksek geçişli ve düşük geçişli sistemler için OP tarafından gösterilen grafikler gibi bu sistemlerin dürtü yanıtının Fourier Dönüşümüdür (frekans yanıtı).

İlk soruyu OP'nin sorusu ışığında düşünün. Her filtrenin üzerindeki haç, aşağıdaki gibi bir büyüklük ve faza sahiptir:

Üst geçişte üst geçit: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

Çapraz geçişte alçakgeçiş: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Paralel olarak sonuç şöyle olacaktır: $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$ açı 0 ile 1'e eşittir. Bu durum, iki vektörün eklenmesi olarak grafiksel olarak en kolay görülür:

Seri halinde sonuç $\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$. Vektörleri çarptığınızda, büyüklükleri çarpar ve fazları (üsler) eklersiniz, böylece bu sonuç faz 0 ile sadece 0.5 olur.

Ve en yüksek frekansta her filtrenin büyüklüğü ve fazı şu şekilde verilir:

F olarak highpass $\rightarrow \infty$: $1e^{j0}$

F olarak düşük geçiş $\rightarrow \infty$: $0e^{-j\pi}$

Paralel durumun sonucunun 0 açısı ile hala 1 olduğunu, ancak seri durumunda 0'a (açı ile) $-\pi$) frekans yaklaştıkça $\infty$. Bu mantıklıdır, yüksek geçiş sinyali geçer (gecikmeden - filtre en yüksek frekanslarda şeffaftır), ancak düşük geçiş tamamen bloke eder, bu yüzden hiçbir şey geçmez. Ayrıca, çapraz geçişten geçerken fazın nasıl negatif yönde değiştiğini görüyoruz ve toplanan filtrelerin bant geçişi sonucunda, net faz kaymasının frekansa karşı eğiminin negatifi tarafından verildiği gibi bir gecikme var. .

Arada olanlar, paralel kombinasyonun sıfır fazı toplaması için iki filtre arasında özel bir matematiksel ilişki gerektirir (ve dolayısıyla sıfır grup gecikmesi, esasen paralel kombinasyonu da şeffaf hale getirir). İki filtrenin fazında bir kareleme ilişkisinin olduğunu açıkça görebildiğimiz OP örneğini düşünün. Böylece:

Bu sonucun tüm frekanslar için her zaman sıfır faza sahip olması için aşağıdaki eşitliğin olması gerekir:

Veya alternatif olarak şu şekilde tarif edilir:

Biz süpürürken birim çemberin gerçek ve hayali bileşenidir. $\phi_1$tüm olası değerlerin üzerinde. Bu nedenle$A_1 = cos(\phi_1)$ ve $A_2 = sin(\phi_1)$, iki filtrenin vektör toplamı herkes için sıfır faz ile sonuçlanır $\phi_1$ ve dolayısıyla tüm frekanslar.

OP'nin gösterdiği son çizim ve sorusuyla ilgili olası bir sezgiye gelince, türevin yüksek geçiş fonksiyonu olduğunu düşünün - kırmızı pulsun türevini alırsanız sonuçta yeşil pulsu elde edersiniz. Kırmızı nabız var olana kadar bu sonucu almaya başlayamazsınız, bu nedenle nedensellik ihlali yoktur.

Bunun oldukça ilginç bir soru olduğunu düşündüm, bu yüzden 5 yıl geç de olsa cevaplamaya çalışacağım.

Bence, grup gecikmesini ölçmenin yollarından birini, yani fazın negatif türevi olarak hesaplamanın bir yolunu keşfettiniz. Bu durumda, bu yöntem uygun değildir.

Bu durumda, grup gecikmesini ölçmenin daha uygun bir yolu sinüs dalgası girişi kullanmak ve giriş ile toplanan çıkış arasındaki gecikmeyi ölçmektir. Tabii ki, tam bir resim elde etmek için bir güçlük, ancak doğru olan bir frekans taraması yapmanız gerekecektir.

Bunu yaparsanız, sıfır olmayan bir grup gecikmesini ölçeceğinizi hepimiz kabul edebiliriz.

Grup gecikmesi, grup modüle edilmiş sinyal ile ilişkilidir, bu nedenle grup gecikmesi ölçümü grup (modüle edilmiş sinyal) kullanılarak yapılmalıdır. Filtreye giren grup, filtrenin çıkışındaki şekline göre aynı olmalıdır. Şekil, örneğin grubun spektrumu anlamına gelir. Tek bir frekansta yapılan ölçümler, grup gecikmesi hakkında bilgi içermez.