PSD (Güç spektral yoğunluğu) açıklaması

PSD'nin nasıl hesaplandığını anlamaya çalışıyorum. İletişim Mühendisliği ders kitaplarımdan birkaçına baktım ama işe yaramadı. Ayrıca çevrimiçi baktım. Wikipedia en iyi açıklamaya sahip gibi görünüyor; ancak, CDF (Kümülatif Dağıtım Fonksiyonu) yapmaya karar verdikleri kısımda kayboluyorum ve daha sonra bazı nedenlerden dolayı otokorelasyon fonksiyonuyla ilgili olmaya karar verdim.

Sanırım anlamadığım şey, otokorelasyonun PSD'nin hesaplanmasıyla ne ilgisi var? PSD basitliğinin in Fourier Dönüşümü olduğunu düşünürdüm (burada zamana göre sinyalin gücüdür). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— user968243
kaynak

nasıl tanımlıyorsunuz ?

P (t)

$P(t)$

— Mart'ta Phonon

Gerçekten hiçbir şey olarak tanımlamıyorum. Sadece bir güç sinyali. Sanırım tanımlamak zorunda olsaydım, olurdu ... Sanırım nokta PSD ve otokorelasyon ile ilgili bir şey var ve ben ne alamadım ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Keyfi sinyaller için gerçekten böyle bir güç tanımlayamazsınız. Gerilim ve akım kavramları yoktur. Bu durumda güç, bir dalganın gücü olarak tanımlanır (isterseniz elektromanyetik). Yani ve bu zamana göre değişen bir miktar değil, tek bir sayı.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Mart'ta Phonon

Wiener-Khinchin Teoremi hakkında bilgi edinin . Phonon'un size hesapladığınız sınırın sabit olduğunu ve Fourier dönüşümünün frekans alanında bir dürtü olduğunu belirttiğinizi anlamayı reddediyorsunuz . Bu teknenizi yüzerse, gidin ama herkesin anladığı gibi güç spektral yoğunluğu değildir.

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

Bu teoremi okudum ... Ve Fourier dönüşümünü otokorelasyonla nasıl ilişkilendirdiğini anladım. Ve Phonon'un ne dediğini anlamıyorum ... @Phonon'un ne dediğini tam olarak anlıyorum. Anlamadığım şey, otokorelasyon formülünün neden kullanıldığını ve ayrıca fourier dönüşüm yolunun neden kullanıldığını anlamıyorum (PSD'yi elde etmek için fourier dönüşümünü alabilir, büyüklüğünü alabilir, kare vb.) ... bunu yapmanın neden bir PSD vereceği hakkında hiçbir fikrim yok ve iyi bir türetme bulamadım.

— user968243 9:13

Yanıtlar:

Haklısın, PSD, sinyalin gücünün Fourier Dönüşümü'nü hesaplamak ve ne yaptığını tahmin etmek zorunda. Ama önce PSD ve otokorelasyon fonksiyonu arasındaki matematiksel ilişkiye bakalım.

Gösterimler:
- Fourier Dönüşümü: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (Zaman) Otomatik Korelasyon Fonksiyonu: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Otomatik Korelasyon fonksiyonunun Fourier Dönüşümü'nün gerçekten stokastik sinyal sinyalimiz nin Güç Spektral yoğunluğuna eşit olduğunu kanıtlayalım . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Tüm bunların anlamı ne? Not: Bu açıklama biraz "hacky" dir. Ama işte gidiyor

Fourier dönüşümü bize bir sinyalin spektral bileşenlerini söyler. Bizim durumumuzda, sinyal Stokastiktir; Bu nedenle, sinyalin spektral bileşenlerini hesaplamaya çalışmak anlamsız olacaktır, çünkü rastgele sürecin her gerçekleştirilmesi için için farklı ifadelere sahip olacaksınız . $\mathcal{F}[x(t)]$

Fourier dönüşümünün Beklenen Değerini alırsanız ne olur? Bu işe yaramaz. Örneğin sıfır ortalama sinyalini alalım.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

Bunun yerine, ya sinyalin karesinin Fourier dönüşümünü alırsanız.

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

Otokorelasyon fonksiyonu aslında bahsettiğiniz dir. $P(t)$

Referanslar:

[1] İletişim 1, PL. Dragotti, Imperial College London

[2] Beyaz Gürültü ve Tahmin, F. Tobar [Yayınlanmamış Rapor]

— ssk08
kaynak

Fantastik Açıklama! Küçük bir hesap sorusu - ve çift katlı integrallerde değiştirebiliyor musunuz , çünkü bunların her ikisi de - ile + mı?

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

— Spacey

Evet bu doğru.

— ssk08

Tamam, sanırım anladım. Fourier dönüşümünün otokorelasyonla nasıl ilişkili olduğunu görebiliyorum. Yine de, veya in fourier dönüşümünü almakla ilgili sorunun ne olduğunu gerçekten anlamıyorum . Beklenen değerin neden alınması gerektiğini gerçekten anlamıyorum (ortalama olduğunu biliyorum, ama bunun neden gerekli olduğunu bilmiyorum) ve rastgele her gerçekleşme için gerçekten ne demek istediğini anlamıyorum işlemi için farklı ifadelere sahip olacaksınız. Biraz detaylandırabilseydiniz, bu harika olurdu! Zaman ayırdığınız için teşekkür ederim!

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

— user968243 12:13

@ user968243 "Her gerçekleşme için" kısmına gelince, şu şekilde düşünün: Orijinal sinyaliniz, PSD'yi bulmak istediğiniz uzunluğunun rastgele bir vektör olduğunu varsayalım. bileşenli bir vektör . Şimdi, bu rastgele bir vektör olduğundan, her zar attığınızda bileşenleri için farklı değerler elde edersiniz. Bir olasılık [3 4 1 9 ...] olabilir. Başka bir olasılık da [2.9 4.2 1.1 9.02 ...] olabilir. "Rastgele bir sürecin her gerçekleştirilmesi için (vektörünüz) farklı ifadeler alırsınız" (fourier dönüşümü. Mantıklı?)

N

$N$

N

$N$

— Spacey

@Mohammad mükemmel bir şekilde özetledi.

— ssk08

Güzel bir türev ama bence bunu daha da kolay yapabilirsiniz

Otomatik korelasyon , sinyalin zaman çevrilmiş kendisiyle dönüşümüdür. $r(t) = x(t)*x(-t)$

Zaman alanındaki konvolüsyon, frekans alanındaki çarpmadır.

Zaman alanındaki zaman çevirme, frekans alanındaki "karmaşık eşlenik" tir.

Bu nedenle

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
kaynak

Otomatik korelasyon, sinyalin karmaşık eşlenik, zaman atlamalı benliğiyle evrişimi değil midir?

— Jim Clay

Sanırım sinyalin gerçek olduğunu varsayıyor.

— ssk08

@Jim & ssk08: İkiniz de haklısınız tabii. Denklemleri temizlediğiniz için teşekkürler.

— Hilmar

PSD (Güç spektral yoğunluğu) açıklaması

Otokorelasyon fonksiyonu aslında bahsettiğiniz dir.P(t)P(t)P(t)

Otokorelasyon fonksiyonu aslında bahsettiğiniz dir. $P(t)$