Beyaz Gauss Gürültüsünün Varyansı

Bu kolay bir soru gibi görünebilir ve hiç şüphesiz, ama beyaz Gauss gürültüsünün varyansını herhangi bir sonuç olmadan hesaplamaya çalışıyorum.

Katkı maddesi beyaz Gauss gürültüsünün (AWGN) güç spektral yoğunluğu (PSD) $\frac{N_0}{2}$ otokorelasyoniken,varyans sonsuz mu? $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
kaynak

Gürültü gücü, gürültü voltajının varyansı değil mi? Ayrıca belirli bir zaman aralığında ölçülen gücün varyansı (veya standart sapması) hakkında da sorulabilir. Bence merkezi limit teoremi, ölçüm süresi ile sonuçların varyansı arasındaki ilişkiyi açıklayacaktır.

Yanıtlar:

Sürekli zaman durumunda beyaz Gauss gürültüsü ikinci dereceden bir süreç olarak adlandırılan şey değildir (yani sonludur) ve bu nedenle, evet, varyans sonsuzdur. Neyse ki, doğada asla beyaz bir gürültü sürecini (Gaussian olsun olmasın) gözlemleyemeyiz; sadece bir tür cihazla gözlemlenebilir, örneğin transfer fonksiyonu olan bir (BIBO-kararlı) lineer filtre , bu durumda elde ettiğiniz şey güç spektral yoğunluğu olan sabit bir Gauss işlemidir. $E[X^2(t)]$ $H(f)$ ve sonlu varyans $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Beyaz Gauss gürültüsü hakkında muhtemelen bilmek istediklerinizden daha fazlası bu ders notumun Ekinde bulunabilir .

— Dilip Sarwate
kaynak

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Peter K.

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

@DilipSarwate İlginç ekinizi okudum. Ancak, "Ancak, WGN sürecindeki rasgele değişkenlerin kendilerinin Gauss rasgele değişkenleri olduğu sonucuna varılmamalıdır". Bunu tam olarak anlamadım. Rastgele değişkenler Gauss değilse (ve sonsuz varyansları olduğu için bu benim için makul görünüyorsa), neden Gauss adı verilir?

— Sonbaharda sörfçü

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$ ve doğrusal filtrenin çıktısında ürettiği şeyle tanımlanır, başka hiçbir şeyle değil.

— Dilip Sarwate

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & E [x [t] x [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} E [x [t]^{2}], i f τ = 0 \\ 0, o t h e r w i s e \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$ where

δ [τ]

$\delta[\tau]$ is the Kronecker delta.

So, that implies that $\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$ .

— Peter K.
kaynak

Yes it is: unless you take into account that infinite power is hard to come by in these post big-bang times. Actually all white noise processes end up in a physical implementation that has a capacitance and thus limits on the effective bandwidth. Consider the (reasonable) arguments leading to Johnson R noise: they would produce infinite energy; except there are always bandwidth limits in implementation. A similar situation applies at the opposite end: 1/F noise. Yes some processes fit 1/f noise very well over a long time; I have measured them. But in the end you are constrained by physical laws.

— rrogers
kaynak