Eşleşen Filtreyi Anlama

31

Eşleşen filtreleme hakkında bir sorum var. Eşleşen filtre, yalnızca karar anında SNR'yi maksimize ediyor mu? Anladığım kadarıyla, eğer NRZ'yi eşleşen bir filtreden geçirirseniz, SNR sadece karar noktasında en üst seviyeye çıkarılır ve bu eşleşen filtrenin avantajıdır. SNR'yi çıktı işlevinde başka bir yerde veya yalnızca karar noktasında maksimize ediyor mu?

Wikipedia'ya göre

Eşleşen filtre, ilave stokastik gürültü varlığında sinyalin gürültü oranını (SNR) en üst seviyeye çıkarmak için en uygun lineer filtredir.

Bu benim için her yerde onu en üst düzeye çıkardığı anlamına geliyor, ancak bunun nasıl mümkün olduğunu anlamıyorum. İletişim mühendisliği ders kitaplarımdaki matematiğe baktım ve söyleyebileceklerime göre, sadece karar noktasında.

Bir diğer sorum ise, karar noktasında neden çok uzun sıska bir tepe yapan bir filtre yapmama. Bu SNR'yi daha da iyi yapmaz mıydı?

Teşekkürler.

Düzenleme: Sanırım benim de düşündüğüm şey, bazı NRZ verilerinizin olduğunu ve eşleşen bir filtre kullandığınızı, eşleşen filtrenin bir I&D (entegre et ve dökümü) ile uygulanabileceğini söylüyor. I&D temelde örnekleme zamanına gelene kadar hız kazanacaktır ve fikir, I&D'nin zirvesindeki örneklerden birinin SNR'nin maksimum olmasıdır. Benim anlamadığım şey, neden onu iki katına entegre eden bir filtre ya da onun gibi bir şey oluşturmuyorsun ki, bu şekilde, kare bir artış elde edersiniz (bir rampa yerine) ve örneklediğiniz nokta daha da yükselir ve söyleyebileceklerimden, karar devresi tarafından doğru yorumlanması daha muhtemel (ve daha düşük bir Pe (hata olasılığı))?

filters digital-communications matched-filter

— user968243
kaynak

1

Bu cevabı ve son cümleyle özellikle bağlantıyı okuyun . İşletme çift entegrasyon etkili bir şekilde bir (arzu edilen örnekleme zamanında) çıkış işlem olup olmayan eşleştirilmiş filtre ve böylece edilemez küçük vermek gürültü Gauss ise eşleştirilmiş filtreye göre. Gürültü ilave Gauss gürültüsü ise, doğrusal veya doğrusal olmayan hiçbir filtre, eşleşen filtreden daha küçük bir hata olasılığı veremez.

P_{e}

$P_e$

— Dilip Sarwate

50

Bu soru düzenlemelerde birden fazla alt soruyu, cevapları yorumlamayı vb. İçerdiğinden ve bunlar ele alınmadığından, işte böyle.

Eşleşen filtreler

Darbe cevabı , transfer fonksiyonu transfer (doğrusal zamanla değişmeyen BIBO-kararlı) filtreye giriş olan bir sonlu enerji sinyali göz önünde bulundurun ve çıkış sinyali Hangi tercihi belirli bir zamanda maksimum cevap üretecektir? ? Kendisine, bir filtre için ideal bir global maksimum şekilde meydana . Bu gerçekten çok gevşek bir şekilde ifade edilen (ve gerçekten cevaplanamayan) bir sorudur çünkü açıkça dürtü yanıtlı filtre, dürtü yanıtlı filtreden daha büyük bir tepkiye sahip olacaktır. $s(t)$ $h(t)$ $H(f)$

\begin{matrix} (1) & y (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} s (τ - t) h (t) d t . \end{matrix}

$y(\tau) = \int_{-\infty}^\infty s(\tau-t)h(t)\,\mathrm dt.\tag{1}$

h (t)

$h(t)$

t_{0}

$t_0$

y (τ)

$y(\tau)$

t_{0}

$t_0$

2 h (t)

$2h(t)$

h (t)

$h(t)$ ve dolayısıyla cevabı en üst seviyeye çıkaran filtre diye bir şey yoktur. Bu nedenle, elmaları ve portakalları karşılaştırmak yerine, sabit bir enerjiye sahip , örneğin tabi tutulan dürtü yanıtına bağlı olarak değerini maksimize eden filtreyi aradığımız kısıtlamayı da

y (t_{0})

$y(t_0)$

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t = E = \int_{- \infty}^{\infty} | s (t) |^{2} d t . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt = \mathbb E = \int_{-\infty}^\infty |s(t)|^2 \,\mathrm dt.\tag{2}$

Burada, "filtre" dürtü yanıtı karşılayan doğrusal bir zamanla değişmeyen filtre anlamına gelir (2).

Cauchy-Schwarz eşitsizliği bu soruya cevap veriyor. Bizde , eğer eşit ise ile burada (2) o olsun gelen olan, darbe yanıt filtre üretir maksimum tepkiler de belirli bir zaman . Yukarıda tarif edilen (stokastik olmayan) anlamında, bu filtrenin olduğu söylenir.

y (t_{0}) = \int_{- \infty}^{\infty} s (t_{0} - t) h (t) d t \leq \sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | s (t_{0} - t) |^{2} d t} \sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t} = E

$y(t_0) = \int_{-\infty}^\infty s(t_0-t)h(t)\,\mathrm dt \leq \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |s(t_0-t)|^2 \,\mathrm dt} \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt} = \mathbb E$

h (t) = λ s (t_{0} - t)

$h(t) = \lambda s(t_0-t)$

λ > 0

$\lambda > 0$

λ = 1

$\lambda = 1$

h (t) = s (t_{0} - t)

$h(t) = s(t_0-t)$

y (t_{0}) = E

$y(t_0) = \mathbb E$

t_{0}

$t_0$

uygun filtre süresi de veya için eşleştirilmiş filtre süresi de $s(t)$ $t_0$ $s(t)$ $t_0.$

Bu sonuç hakkında dikkat edilmesi gereken birkaç nokta var.

Eşleştirilmiş filtrenin çıktısı bir sahiptir benzersiz global maksimum değeri de ; başka bir , sahibiz . $\mathbb E$ $t_0$ $t$ $y(t) < y(t_0) = \mathbb E$
Eşleşen filtrenin süresi için impuls cevabı sadece '' zaman içinde ters çevrilir '' ve sağa . $s(t_0-t) = s(-(t-t_0))$ $t_0$ $s(t)$ $t_0$

a. Eğer , sonlu destek, söz vardır ve ardından eşleştirilmiş filtre olup nedensel ise . $s(t)$ $[0,T]$ $t_0 < T$

b. Uygun filtre zamanında isimli süre sonunda eşleşen sadece filtre ek gecikme ile . Bu nedenle, bazı insanlar dürtü yanıtı ile filtreyi çağrı , (olup, uygun filtre de ) için eşleştirilmiş filtre anlayışı ile bu kesin süre Maçlar gerektiğinde tartışmaya dahil edilebilir. Eğer için , daha sonra eşleştirilmiş filtre nedensel değildir. Bununla, 1. ifadesini yeniden düzenleyebiliriz. $s(t)$ $t_1 > t_0$ $t_0$ $t_1-t_0$ $s(-t)$ $s(t)$ $t=0$ $s(t)$ $s(t) = 0$ $t < 0$
İçin eşleştirilmiş filtre benzersiz bir global maksimum değeri üretir zaman . Ayrıca, , sinyalinin otomatik korelasyon işlevidir . Elbette, 'nin başlangıç noktasında benzersiz bir tepe noktası olan düzgün bir fonksiyonu olduğu iyi bilinmektedir . Süresi en eşleştirilmiş filtrenin çıktısı bu Not sadece bir , zaman tepe noktası gecikmeli otokorelasyon fonksiyonu . $s(t)$ $y(0) = \mathbb E$ $t=0$
$y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} s (t - τ) s (- τ) d τ = \int_{- \infty}^{\infty} s (τ - t) s (τ) d τ = R_{s} (t)$ $y(t) = \int_{-\infty}^\infty s(t-\tau)s(-\tau)\,\mathrm d\tau = \int_{-\infty}^\infty s(\tau-t)s(\tau)\,\mathrm d\tau = R_s(t)$ $s(t)$ $R_s(t)$ $t$ $t_0$ $R_s(t-t_0)$ $t_0$
zamanı için eşleşen filtreden başka hiçbir filtre , kadar büyük bir çıktı üretemez . Bununla birlikte, herhangi , aşan çıkış filtreleri bulmak mümkündür de . olduğuna . $t_0$ $\mathbb E$ $t_0$ $t_0$ $R_s(t_0)$ $t_0$ $R_s(t_0) < \mathbb E$
Transfer fonksiyonu arasında eşleştirilmiş filtrenin bir , spektrumunun kompleks eşleniği . Böylece, . Bu sonucu aşağıdaki gibi düşünün. Yana için ve için , eşleştirilmiş filtre, bu frekanslarda düşük kazancı bu frekanslarda küçüktür ve yüksek kazanç burada büyük. Böylece, eşleşen filtre zayıf spektral bileşenleri azaltmakta ve de güçlü spektral bileşenleri arttırmaktadır. $H(f)=S^*(f)$ $S(f)$ $Y(f) = \mathfrak F[y(t)]= |S(f)|^2$ $x^2 > x$ $x > 1$ $x^2< x$ $0 < x < 1$ $S(f)$ $S(f)$ $S(f)$ . (Ayrıca tüm "sinüzoidleri" ayarlamak için faz dengelemesi yapıyor, böylece hepsi zirveye çıkıyor ). $t=0$

-------

Peki gürültü ve SNR ve OP'nin sorduğu şey gibi şeyler?

Sinyal artı iki taraflı güç spektral yoğunluğu olan ilave beyaz Gauss gürültüsü dürtü yanıtı olan bir filtreden , çıkış gürültüsü işlemi sıfır ortalama olur Otokorelasyon fonksiyonlu sabit Gauss işlemi . Dolayısıyla, varyans Varyansın, filtre çıktısını ne zaman aldığımızdan bağımsız olarak aynı olduğunu not etmek önemlidir. Peki, seçimi SNR maksimize edecek sürenin sonunda $s(t)$ $\frac{N_0}{2}$ $h(t)$ $\frac{N_0}{2}R_s(t)$

σ^{2} = \frac{N_{0}}{2} R_{s} (0) = \frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t .

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2} R_s(0) = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|^2\,\mathrm dt.$

h (t)

$h(t)$

y (t_{0}) / σ

$y(t_0)/\sigma$

t_{0}

$t_0$ ? Pekala, Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden, tam olarak olduğunda eşitlikle , filtre zamanında ile eşleşen filtre !! Not bu . Bu eşleşen filtreyi istenen örnekleme , diğer zamanlarda , SNR

SNR = \frac{y (t_{0})}{σ} = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} s (t_{0} - t) h (t) d t}{\sqrt{\frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t}} \leq \frac{\sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | s (t_{0} - t) |^{2} d t} \sqrt{\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t}}{\sqrt{\frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) |^{2} d t}} = \sqrt{\frac{2 E}{N_{0}}}

$\text{SNR} = \frac{y(t_0)}{\sigma} = \frac{\int_{-\infty}^\infty s(t_0-t)h(t)\,\mathrm dt}{\sqrt{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt}} \leq \frac{\sqrt{\int_{-\infty}^\infty |s(t_0-t)|^2 \,\mathrm dt} \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^\infty |h(t)|^2\,\mathrm dt}} = \sqrt{\frac{2\mathbb E}{N_0}}$

h (t) = s (t_{0} - t)

$h(t) = s(t_0-t)$

s (t)

$s(t)$

t_{0}

$t_0$

σ^{2} = E N_{0} / 2

$\sigma^2 = \mathbb EN_0/2$

t_{1}

$t_1$

y (t_{1}) / σ < y (t_{0}) / σ = \sqrt{\frac{2 E}{N_{0}}}

$y(t_1)/\sigma < y(t_0)/\sigma = \sqrt{\frac{2\mathbb E}{N_0}}$ . Could başka filtre süresi en büyük SNR vermek ? Çünkü Elbette, , söz konusu tüm filtreler için aynıdır, ve yukarıda belirtildiği olan daha sinyal çıkışı daha büyük olması mümkündür süre içinde olmayan farklı bir eşleştirilmiş filtrenin kullanılması ile sağlanabilir.

t_{1}

$t_1$

σ

$\sigma$

y (t_{1})

$y(t_1)$

t_{1}

$t_1$

Kısacası,

"eşleşen filtre SNR'yi yalnızca örnekleme anında veya her yerde en üst düzeye çıkarır mı?" sadece örnekleme anında maksimize edildiğine cevabı var . Diğer zamanlarda, diğer filtreler zamanında eşleşen filtrenin sağladığından daha büyük bir SNR verebilir , ancak bu yine de eşleşen filtrenin verdiği SNR den daha küçük sizi , ve eğer istenirse, eşleşen filtre yerine zamanında zirvesini üretmek için yeniden tasarlanabilir . $t_0$ $t_1$ $\sqrt{\frac{2\mathbb E}{N_0}}$ $t_0$ $t_1$ $t_0$
“neden karar anında çok uzun bir sıska sivri uç yapan bir filtre yapmıyoruz. Bu SNR'yi daha iyi yapmaz mıydı?”
Eşleştirilmiş filtre yapar örnekleme zamanında tür bir artış üretmek ama otokorelasyon fonksiyonunun şekli ile sınırlıdır. Herhangi başka bir uzun boylu sıska (time domain) başak üretmeye hazırlamak anlamına filtre eşleşen bir filtre değildir ve bu yüzden size mümkün olan en büyük SNR vermeyecektir. Not bu filtre dürtü yanıtının genliğini arttırırken (veya artırır örnekleme zamanında kazanç, zamanla değişen bir filtre kullanılarak) sinyal ve orantılı gürültü standart sapma artışı, her iki yana SNR değiştirmez.
“I&D temelde örnekleme zamanına gelene kadar hız kazanacak ve fikir, I&D'nin zirvesindeki örneklerden birinin, bu noktada SNR'nin maksimum olduğu”.
NRZ verileri ve dikdörtgen darbeler için, eşleşen filtre darbesi tepkisi aynı zamanda dikdörtgen bir darbedir. Entegre-ve-dökümü devresi, çıktısını yalnızca örnekleme örneklerinde eşleştirilen filtre çıktısına eşit olan ve ikisi arasında olmayan bir korelatördür . Aşağıdaki şekle bakınız.

görüntü tanımını buraya girin

Korelatör çıktısını başka zamanlarda örneklerseniz, daha küçük değişkenlikli gürültü elde edersiniz, ancak gürültü değişkenleri yüksek derecede korelasyon gösterdiğinden ve net değişkenlik çok fazla olduğu için farklı zamanlarda alınan I&D çıktı örneklerini ekleyemezsiniz. daha büyük. Ayrıca eşleşen filtre çıktısından birden fazla örnek alabilmeyi ve daha iyi bir SNR elde etmek için bunları herhangi bir şekilde birleştirmeyi beklememelisiniz. Çalışmıyor. Etkili olduğunuz şey farklı bir filtredir ve Gauss gürültüsündeki (doğrusal) eşleşen filtreden daha iyisini yapamazsınız; doğrusal olmayan işlem hiç bir eşleştiriciden daha küçük bir hata olasılığı vermez.

— Dilip Sarwate
kaynak

2

Mükemmel cevap. Dijital bir iletişim teorisi dersinin önemli bir kısmı tek bir pakete taşındı.

— Jason R

Harika cevap için teşekkür ederim! Eşleşen filtre çıktısının grafiği ile ilgili bir sorum var . Bu grafiğin çıktısı nedir (elle çizmeye çalışıyorum)? Bunun olduğunu kabul ediyorum, burada çıkış sinyalidir (üçüncü grafik) ve alınan sinyaldir (ilk grafik). Alınan sinyali hem mantık seviyesi 1 hem de 0 durumlarını kapsayacak kadar uzun bir kutu işlevi ile ilişkilendirirsem , o zaman bu çıktının elde edilmesini sağlarım --- tek şey, korelasyon ile sinyal arasında hiçbir zaman% 100 eşleşme olmaz korelasyon sinyali, belki de bu beklendiği gibi.

y (t) = r (t) * r (- t)

$y(t) = r(t) * r(-t)$

y (t)

$y(t)$

r (t)

$r(t)$

— user968243

İle arasında süren bir dikdörtgen darbe belirten için , alınan sinyal , eşleşen filtre, darbe tepkisine sahiptir ve filtre çıktısı olduğu, her zaman en eşleştirilmiş filtre çıktısı olduğu Alınan sinyalin entegrasyonu (artı gürültü, elbette) son saniye boyunca. Örnekleme örneklerinde, filtre çıktısının içinde alıcı kaynaklı semboller arası girişime (ISI) sahip olduğunu unutmayın! (devam etti)

p (t)

$p(t)$

0

$0$

T

$T$

r (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{b_{n}} p (t - n T)

$r(t)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{b_n}p(t-nT)$

h (t) = p (- t)

$h(t)=p(-t)$

(r ⋆ h) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r (u) h (t - u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} r (u) p (u - t) d u = \int_{t - T}^{t} r (u) d u,

$(r\star h)(t)=\int_{-\infty}^\infty r(u)h(t-u)\,du=\int_{-\infty}^\infty r(u)p(u-t)\,du=\int_{t-T}^t r(u)\,du,$

t

$t$

T

$T$

— Dilip Sarwate

(devamı) Bu ISI, eşleşen filtre çıktısından birden fazla örnek alma ve daha sonra SNR'yi geliştirmek için bir şekilde işlem yapma fikrinizin sizin düşündüğünüz gibi çalışmayacağının bir başka nedenidir.

— Dilip Sarwate

Tamam teşekkürler! Bana öyle geliyor ki, eşleşen filtre gerçekten bir korelatör ... Sadece iki grafikteki korelatör, T'deki bir korelatör gibi görünmek için her T'yi yeniden başlatmaya ihtiyaç duyan bir entegratör olarak gerçekleniyor. Bana göre eşleşen filtre korelatörden daha fazla bir korelatör gibidir (Kulağa garip geldiğini biliyorum).

— user968243

5

Haklısınız: Eşleşen bir filtre, karar anında SNR'yi en üst düzeye çıkaracaktır.

Uzun bir sivri uçlu "filtre" ile ilgili teklifinizin bir filtre değil, aslında bir örnekleyici (karar noktasında kullanılan örnekleyici) olduğuna dikkat edin.

Eşleşen filtre, sürekli giriş sinyaline uygulanan bir filtredir (yani doğrusal zamanla değişmeyen sistem). "Karar noktasındaki artış" çok zamana bağlıdır (bir filtre değil bir örnekleyicidir).

— Juancho
kaynak

Soruma bir düzenleme ekledim. Buradaki yorumlara göndermeye çalıştım, ancak çok uzun ve izin verilmedi. Cevabınız için teşekkürler.

— user968243 12:13

3

Eşleşen filtre, ilave beyaz Gauss gürültüsü varlığında maksimum olabilirlik alıcısıdır. Böylece, eşit öncelikli sembol olasılıkları için, optimum bit hata performansı verecektir. Bu, AWGN kanalında belirttiğiniz gibi, sinyal-gürültü oranını en üst düzeye çıkarmakla eşdeğerdir. Ayrıca, bu maksimum SNR koşulunun her sembol için karar anında olduğunu doğru bir şekilde belirttiniz.

Teklifinizdeki yanlış anlama, AWGN kanalındaki eşleşen filtre yaklaşımından daha iyisini yapamayacağınızdır. Filtrenin karar noktası dışındaki zaman instantları için çıktısı, bit-hata performansı ile ilgili değildir. Pratik bir anlamda, eşleşen filtre çıkışı (yani sinyalin darbe şeklinin kendi kendine korelasyonunun şekli) darbeye benzer bir şekle sahipse, sembol-zamanlama senkronizasyonunu elde etmek daha kolay olabilir. Aslında, bazı gerçek iletişim teknikleri (doğrudan dizi yayılı spektrum modülasyonu gibi) bu özelliğe sahiptir.

Bununla birlikte, mükemmel senkronizasyon varsayılırsa, bu, bit hata oranlarını analiz ederken görülen tipik durumdur; elde edilen performans, eşleşen filtrenin çıktısının şekliyle ilişkili değildir; tek önemli olan nabızdaki toplam enerjidir ve eşleşen filtrenin çıkış noktasında karar noktasında değerini belirler.

Ayrıca, istediğiniz belirli bir zaman-alanı yanıtına sahip olacak farklı bir filtre tasarlamak çok zor olabilir. Böyle bir işlem dekonvolyon olarak bilinir ve kolay değildir. Önerdiğiniz çift filtre yaklaşımı, karar istatistiklerini daha da daraltmanın tam tersi bir etki yaratacaktır (evrişim, zaman içinde sinyali doğal olarak yok eder). Belki size daha çok hoşlanacağınız bir şekil verecek olan doğrusal olmayan bir filtre tasarlayabilirsiniz, ancak eşleşen filtre yaklaşımının iyiliğini koruyacağı da belli değildir.

— Jason R
kaynak

Tamam, cevap için teşekkürler. Eşleşen filtrenin çıktısının karar noktasında değil, fark yaratmadığını ve ilgisiz olduğunu söylediniz. Bunu çözmüştüm ve neden daha iyi bir filtrenin yapılamadığını merak ediyordum, örneğin, bu kısımlarda bulunan enerjiyi alan ve karar noktasında bunu içeren bir tane. Bunun mantıklı olup olmadığından emin değilim! Umarım yapar! Tahminime göre bu yapılamaz çünkü filtre doğrusal olmaz ...

— user968243

2

Sorunuzu teoride cevaplayamıyorum, ancak pratik olarak cevaplayabiliyorum - Uyumlu bir filtre simülatörü kullanarak görebilirsiniz ( http://www.grauonline.de/alexwww/ardumower/filter/filter.html ).

— Alexander Grau
kaynak

2

Yukarıdaki tüm cevaplar, eşleştirilen filtrenin ne kadar uygun olduğunu güzel bir şekilde tanımlamaktadır, ancak karar konusunda diğer örneklerin neden faydasız olduğunu tartışmamaktadır. Bu optimal olmayan numunelere ilişkin ilginç bakış açısı, frekans bölgesi görünümünden gelir.

Zaman domenindeki çapraz korelasyonun frekans domeninde eşlenik çarpma olduğunu unutmayın. En uygun anda örneklendiğinde, tüm frekans kutularının fazları, sonucun I dalında enerjinin en üst düzeye çıkarıldığı ve Q kolunun olmadığı şekilde hizalanır. Başka bir anda örneklendiğinde, her bir frekans kutusu için farklı olan bu zaman kayması farkından dolayı faz dönüşleri uygulanır. Aşağıdaki şekle bakınız.

Dahası, eşleşen filtreden geçen gürültü örnekleri korelasyon kazanır. Bu korelasyon yalnızca eşleşen filtre çıktısı sıfırları, yani en uygun örnekleme örneklerini geçtiğinde sıfırdır.

Demodülasyon makalesinde daha ayrıntılı olarak açıklanmaktadır .

— Qasim Chaudhari
kaynak

1

Bazen dediğiniz gibi ortada küçük bir çivili küçük bir filtre kullanmak daha faydalı olur. Böyle bir filtreye MACE filtresi denir. Bu orijinal kağıt

Mahalanobis, A., Kumar, BVKV, Casasent, D .: Minimum ortalama korelasyon enerjisi filtreleri. Baş. Opt. 26, 3630-3633 (1987)

— Aaron
kaynak