DFT vektöründe karmaşık konjugat simetrisini korumak için ön kodlama matrisi koşulları

DFT vektörü olduğunu varsayalım $\mathbf{X}$ orta noktası etrafında karmaşık konjugat simetrisi sunan N uzunluğuyla, yani, $X(1) = X(N-1)^*$, $X(2) = X(N - 2)^*$ ve benzerleri. $X(0)$ ve $X(N/2)$DC ve Nyquist frekansı sırasıyla gerçek sayılardır. Kalan elemanlar karmaşıktır.

Şimdi bir matris olduğunu varsayalım $\mathbf{T}$, boyut ile $N \times N$vektör X ile çarpılır.

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

Soru:

Matris için hangi koşullarda $\mathbf{T}$ortaya çıkan vektörün orta noktası etrafındaki karmaşık eşlenik simetrisi $\mathbf{Y}$ Korundu?

Bu sorunun motivasyonu bir ön kodlayıcı matrisi bulmaya çalışıyor $\mathbf{T}$ önceden kodlanmış (önceden eşitlenmiş) bir sembolle sonuçlanır $\mathbf{Y}$ IFFT gerçek.

DÜZENLE:

Teşekkürler @ MattL. ve @niaren. Bu sorunun zorluğu gerekli koşulları bulmaktır. Matt'in cevabı gerçekten yeterlidir. Aşağıdaki değişiklikleri yapmak da yeterlidir:

İlk satır ve ilk sütunun sıfır olması gerekmez. Bunun yerine, değerleri orta nokta çevresinde karmaşık bir konjugat simetrisi sunduğu sürece, sıfır olmayabilir, ilk değeri gerçektir ve$(N/2+1)$- değer tıpkı sembol gibi gerçek. Aynı şey,$(N/2+1)$sütunu, $(N/2+1)$sıra ve ana köşegen.

İkincisi, sol üst köşedeki matris ile sağ alt köşe arasındaki aynı yazışma sağ üst köşe ve sol alt köşe arasında yapılabilir, yani bir $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ matris $t_{2,N/2 + 2}$ için $t_{N/2,N}$, soldan sağa çevirin, baş aşağı çevirin ve konjugatı alın, ardından sol alt köşeye koyun. MATLAB'de bu şöyle olur:

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Bu yapı DFT matrisinin yapısına benzer. Bu gerekli bir koşul olur mu?

DÜZENLEME (2):

Aşağıdaki kod, herhangi bir gerçek değerli için geçerli bir operatör uygular $N \times N$ matris $\mathbf{A}$:

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

DÜZENLEME (3):

Ayrıca not etmek ilginçtir $\mathbf{T}^{-1}$yeterli koşulu da sunar. Bu şu gerçeği ortaya çıkar:

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ nerede $\mathbf{W}$ DFT matrisidir.

Dan beri $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$. Bu denklem şöyle olur:

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

Sonunda, $\mathbf{A}^{-1}$ şartıyla, gerçek değerlidir $\mathbf{A}$ tam rütbe,$\mathbf{T}^{-1}$ yeterlidir.

Matrisinizdeki girdilerin $\bf{T}$ itaat etmeli $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$. Bu, satırdaki girişlerin$N-n+1$n satırındaki katsayılarla aynıdır, ancak katsayıların konjuge ve ters çevrildiği yerlerdir. İçindeki desen$\bf{T}$ için $N=4$ dır-dir

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Eminim birisi daha iyi ve daha kesin bir cevap bulur.

Eğer yanılmıyorsam tek çözüm $\mathbf{T}$ vektörden bağımsız olan $\mathbf{X}$ diyagonal karmaşık konjugat simetrisini karşılayan çapraz (karmaşık) bir matristir.

EDIT: Tamam, yanılmışım. Köşegen iyi, ama gerekli değil. Matris$\mathbf{T}$ aşağıdaki genel yapıya sahip olmalıdır: elemanlar $t_{11}$ ve $t_{N/2+1,N/2+1}$gerçek değerli olmalıdır (DC ve Nyquist'e karşılık gelirler). Dışında$t_{11}$ilk satır ve sütun yalnızca sıfır içerir. Elemanlar için$t_{22}$ için $t_{N/2,N/2}$ bir hakem seçti $(N/2-1)\times (N/2-1)$matris. Daha sonra, tüm satırları değiştirerek (ilk satır sonuncusu, ikinci satır ikinci sonuncusu vb.), Satırları soldan sağa çevirerek ve konjugasyon yaparak yeni bir matris oluşturmak için bu arbitray matrisini kullanın. Sonra bu alt matrisi toplam matrisin sağ alt köşesine yerleştirin$\mathbf{T}$. Şunun diğer tüm unsurları$\mathbf{T}$sıfır olmalıdır. Bunun bir görselleştirme olmadan anlaşılması biraz zor olduğunun farkındayım, bu yüzden daha fazla zamanım olduğunda bir tane daha ekleyeceğim.