Kutupların frekans tepkisi ile ilişkisi

Kısa bir süre önce frekans 1'de sonsuz yanıt olduğu için s = 1 kutbunu düşünerek hataya düştüm . Yine de, yanıt sadece 1 idi. Şimdi, kutuplar göz önüne alındığında, frekans cevabını türetebilir misiniz?

İkincisi, teori, kutupların sol s-düzlemindeyken bir sistemin kararlı olduğunu ve böylece zamanla bozulduğunu söylüyor. Fakat bekle. "Kutup" sonsuz tepki anlamına mı geliyor - zaman içindeki büyüme?

Son olarak, DSP'de doğru soru mu? IMO, D dijital anlamına gelirken, s-alanı analogdur. Yazımı etiketlemek için s-düzlem veya Laplace dönüşüm etiketleri bulamıyorum.

update Cevaplar için teşekkürler. Görünüşe göre, küçük ama temel bir şey hariç - kutupların (ve sıfırların) frekansla ilişkisi. Temel olarak, özdeğerler neden frekansla (ya da $s$ operatörünü / değişkeni nasıl çağırıyorsunuz ) frekansla ilişkilidir? Bir şekilde üstel büyüme ve Laplace dönüşümü ile ilgili olmalıdır. Kutupların özdeğerler olduğunu anlıyorum (özellikle ayrık nüksler için). Ancak, bu frekansla nasıl ilişkilidir?

— Val
kaynak

"Sinyal İşleme yığını değişimi", "DSP yığını değişimi" değil. :)

— endolith

Evet, belirtildiği gibi, analog sinyal işleme konudur. DSP.SE, ilk lansman için uygun bir addı, ancak signal.stackexchange.com şimdi de buraya bağlanıyor .

— datageist

Polonyalılar ve Frekanslar arasındaki ilişkiyi sorurken tam olarak ne demek istiyorsun?

— Sudarsan

Açıkçası, kutupların frekans tepkisini nasıl ve neden belirlediği açıktır.

— Val

Cevap zaten verildi sanırım. Eğer ileri hareket olarak frekans yanıt sistemi cevabının büyüklüğü olan

j ω

$j\omega$ ekseni. Sistem Aktarım Fonksiyonu

H (s)

$H(s)$ Ürünü olarak çarpanlara ayırdıysanız , tek yapmanız gereken Aktarım için

cinsinden büyüklüğü bulmaktır. İşlevi ve bu açık bir şekilde Polonyalılar ve Sıfırlar'ın yeri tarafından belirlenir, çünkü bunlar faktörlü sistem yanıtında görünen olanlar olacaktır.

1 / (s - p_{i})

$1/(s-p_{i})$

(s - z_{i})

$(s-z_{i})$

s = j ω

$s=j\omega$

— Sudarsan

Yanıtlar:

Sorunuzda aslında 3 soru olduğunu düşünüyorum:

S1: (Doğrusal zamanla değişmeyen) bir sistemin kutuplarına verilen frekans cevabını türetebilir miyim?

Evet, sabit olabilir. Eğer $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ aktarım işlevinin kutuplarıysa, aktarım işlevini şu şekilde yazabilirsiniz:

\begin{matrix} (1) & H (s) = \frac{k}{(s - s_{\infty, 1}) (s - s_{\infty, 2}) \dots (s - s_{\infty, N})} \end{matrix}

$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$

Bu Not $s$ kompleks değişkendir $s=\sigma+j\omega$ , ve frekans değişkenin $\omega$ kompleksin hayali eksenine karşılık gelir $s$ -plane. Şimdi aktarım fonksiyonundan frekans cevabını almamız gerekiyor. Kararlı sistemler için bu, için transfer fonksiyonu $H(s)$ değerlendirilerek yapılabilir . Değiştirmeye Yani tarafından (1) 'de ve bitirdiniz. Bununla birlikte, bunun sadece kararlı sistemler için geçerli olduğuna dikkat edin (örn. yakınsama bölgesi $s=j\omega$ $s$ $j\omega$ $H(s)$ $j\omega$ ekseniniiçerir).

S2: Kararlı bir sistemin kutupları nasıl olabilir?

Bildiğiniz gibi, nedensel ve kararlı sistemler için, tüm kutuplar karmaşık $s$ -düzleminin sol yarım düzleminde uzanmalıdır. Aslında, transfer fonksiyonunun $H(s)$ değeri bir kutup $s=s_{\infty}$ değerinde sonsuzluğa gidecektir , ancak frekans yanıtı TAMAM olacaktır, çünkü tüm kutuplar sol yarım düzlemde ise, kutuplarda kutup yoktur. $j\omega$ ekseni (veya sağında). Zaman alanında bakarsanız, her (basit) kutbun sistemin dürtü yanıtına $e^{s_{\infty}t}$ katkısı vardır . Kutup sol yarım düzlemde bulunuyorsa, $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ negatif bir gerçek kısma sahip $\sigma_{\infty}<0$ . Yani

e^{s_{\infty} t} = e^{σ_{\infty}} e^{j ω_{\infty}}

$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$

üstel sönümlü bir fonksiyondur ve büyümez fakat çürür, çünkü $\sigma_{\infty}<0$ .

S3: Bu soru buraya ait mi?

Diğer topluluk üyeleri bu sorunun buraya ait olup olmadığına karar vermek zorundadır. Bence öyle. Açıkça saf DSP ile doğrudan ilişkili değildir, ancak DSP mühendisleri de sıklıkla AD dönüşümünden önce analog sinyaller ve sistemlerle uğraşmak zorundadır, bu yüzden sürekli sistem teorisini de bilirler. İkincisi, neredeyse tüm DSP insanları (en azından geleneksel eğitim almış olanlar), sürekli zaman ve ayrık zaman sistemleri dahil olmak üzere genel sinyallere ve sistem teorisine oldukça fazla maruz kalmıştır.

Bu arada, ayrık zamanlı sistemler için Laplace-dönüşümü yerine $\mathcal{Z}$ -dönüşümü elde edersiniz ve karmaşık değişkeninize şimdi yerine $z$ denir . Değişken Söz ettik olarak tanımlanır ve temel olarak kodlama literatürde kullanılır. Tanımı gereği, bir gecikme öğesini belirtir, yani $s$ $D$ $D=z^{-1}$ $D$ , "gecikme" ("dijital" değil) anlamına gelir.

Karmaşık $s$ -düzleminin sol yarım düzleminin karmaşık $z$ -düzleminin birim dairesi içindeki bölgeyle eşleştiğini biliyorsanız (yani $|z|<1$ ) ve $j\omega$ ekseni birim daireye $|z|=1$ , bu durumda iki alandan biri hakkında bildiğiniz hemen hemen her şey kolayca diğer alan adına aktarılır.

— Matt L.
kaynak

Frekans cevabının s = jω için H (s) 'ye ilave olarak kompleks konjugasyonu içerdiğini düşünüyorum.

— Val

Direkleri ve sıfırları anlamama gerçekten yardımcı olan bir şey, onları genlik yüzeyleri olarak görselleştirmektir. Bu grafiklerin birçoğu A Filtre Astarında bulunabilir . Bazı notlar:

Öncelikle analog S düzlemini öğrenmek daha kolaydır ve anladıktan sonra dijital Z düzleminin nasıl çalıştığını öğrenin.
Sıfır, transfer fonksiyonunun kazancının sıfır olduğu bir noktadır.
Bir kutup, transfer fonksiyonunun kazancının sonsuz olduğu bir noktadır.
Genellikle sonsuzlukta sıfırlar veya kutuplar vardır, bunlar transfer fonksiyonunun açıklamalarına her zaman dahil edilmez, ancak onu anlamak için gereklidir.
S düzlemindeki frekans yanıtı sadece j ekseni boyunca olur.
- Başlangıç noktası 0 Hz veya DC'dir ve filtrelerin kesme frekansı başlangıç noktasından radyal olarak uzar. Bir direği, başlangıç noktasından belirli bir mesafede bir daire boyunca herhangi bir noktaya koymak aynı kesme frekansını üretecektir.
- Bir filtrenin kesme frekansını arttırmak için kutupları radyal olarak dışa doğru hareket ettirin.
- İkili bir filtrenin Q'sunu artırmak için, kutupları daire boyunca j the eksenine doğru hareket ettirin, bu da kesme frekansını sabit tutar, ancak kutunun frekans tepkisi üzerindeki etkisini artırarak daha "peaky" yapar.
J ekseninde bir sıfır görünürse, frekans yanıtı o frekansta sıfıra düşer; bu frekansta bir sinüs dalgası girerseniz, çıkış 0 olur.
Eğer jω ekseninde bir kutup görünürse, dürtü yanıtı bir osilatördür; herhangi bir dürtü, o frekansta sonsuza kadar çalmasına neden olur. Dürtülerin sonlu enerjisi vardır, ancak filtrenin yanıtı sonsuz enerjiye sahiptir, bu nedenle sonsuz kazanca sahiptir.

Basit bir örnek H (s) = 1 / s entegratörüdür:

S sonsuz olduğunda bu işlev 0'a eşittir, dolayısıyla sonsuzda sıfır olur.
Bu fonksiyon, s sıfır olduğunda sonsuza eşittir, bu nedenle sıfırda bir kutba sahiptir.

Başka bir deyişle, DC'de sonsuz kazancı vardır (bir entegratörün adım yanıtı sonsuza dek artar) ve frekans arttıkça kazanç azalır:

Bode plot of integrator

Direği başlangıç noktasından, hayali eksen boyunca S düzleminin sol eline taşımak, jw ekseninde 0 Hz'de kazancı tekrar sonlu yapar ve şimdi düşük geçişli bir filtreniz var:

enter image description here

— Endolit
kaynak

+1, güzel cevap. Ama ne demek istediğini anlamıyorum "Başlangıç noktasından belirli bir mesafede bir daire boyunca herhangi bir nokta aynı frekansa sahiptir."

düzlemindeki sabit frekans eğrileri , gerçek eksene paralel çizgilerdir. Kökeni

olan daireler için

, burada

alırsınız .

s

$s$

s = 0

$s=0$

σ^{2} + ω^{2} = c o n s t

$\sigma^2+\omega^2=const$

s = σ + j ω

$s=\sigma+j\omega$

— Matt L.

S-düzlemini z-düzlemiyle karıştırıyor gibi görünüyor

— Val

@MattL .: Hmmm. Nth order Butterworth filtresinin direklerini başlangıç noktasından eşit uzaklıkta olan bir daire boyunca ya da tutarken filtrenin Q değerini ayarlarken başlangıç noktasından eşit uzaklıkta olan bir daire boyunca hareket eden bir çiftin kutupları olduğunu düşünüyorum. frekans sabitini veya kutupları radyal bir yönde başlangıç noktasına yaklaştırarak veya uzaklaştırarak veya kutupları birim çember etrafındaki kutupları ters çevirerek alçak geçidi yüksek geçide dönüştürerek bir filtrenin kesilmesini değiştirme. Bunu nasıl yeniden yazmalıyım?

— endolith

@Val: Kesme frekansı. Düzeltmek için yayını zaten düzenledim.

— endolith

Val, @ endolith için douchy snarky yorumuna gerek yok.

— Spacey

Kutuplardan (1) / sıfırlardan (0) frekans cevabına tam eşlemeyi söylemeyeceğim, ancak frekans ve sıfır / sonsuz yanıt arasındaki bağlantıyı açıklayabileceğimi düşünüyorum, neden sonsuz / sıfır yanıtınız var? yani ile ne ilgisi var . $e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$ $e^{-jw}$ $z$

Lineer sisteminin genel formudur bu kutu z-içinde olarak çözülmelidir

y_{n} + a_{1} y_{n - 1} + a_{2} y_{n - 2} + \dots = b_{0} x_{n} + b_{1} x_{n - 1} + b_{2} x_{n - 2} + \dots,

$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$

Y (z) = \frac{(b_{0} + b_{1} z + b_{2} z^{2} + \dots)}{(1 + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots)} X (z) = H (z) X (z) = \frac{(1 - z_{0} z) (1 - z_{1} z) \dots}{(1 - p_{0} z) (1 - p_{1} z) \dots} X (z) .

$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$

Sonunda, binom ürünleri serisi $(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$ , ilk çıkışın diğeri için girdi olduğu bir dizi sistem olarak düşünülebilir.

Tek kutuplu ve sıfırın etkisini analiz etmek istiyorum. Let en çok geri kalanı bu onu transfer fonksiyonu göz önüne ilk sıfır, üzerinden bir giriş sinyali, karşılık için bazı alalım $H(z)X(z)$ $Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$ $y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$ basitlik için . Yani $b_0=b_1=1$ $y_n = x_n + x_{n-1}$ .

H (z) sisteminin harmonik sinyal üzerindeki etkisini belirlemek istiyoruz. Yani, giriş test sinyali olacaktır Yanıt

x_{n} = e^{j w n} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{j w} z + e^{2 j w} z^{2} + \dots = 1 / (1 - e^{j w}) = X (z) .

$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$

yani

transfer fonksiyonudur veya

y_{n} = x_{n} + x_{n - 1} |_{x_{n} = e^{j w n}} = e^{j w n} + e^{j w (n - 1)} = e^{j w n} (1 + e^{- j w})

$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$

1 + e^{- j w}

$1+e^{-jw}$

Y (z) = \frac{(1 + z)}{(1 - e^{j w} z)} = (1 + z) X (z)

$Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$

temel olarak çıkışın giriş sinyali artı kaydırılan sinyalin toplamı olduğunu söylediğine dikkat edin , çünkü tekli zaman alanında tek saat gecikmesini ifade eder. $1+z$ $z$

$H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$

{\begin{cases} w = 0 & \Rightarrow & H (j 0) = 1 \cdot 2 \cos (0) = 2 \\ w = π & \Rightarrow & H (j π) = e^{j π / 2} 2 \cos (π / 2) = 0 \end{cases}

$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$

Ayrıca elde etmek de iyi bir derstir $2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ çünkü gerçek hayatta karmaşık hayali sinyaller yerine gerçek sinyalleri vereceksiniz.

$y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$ $w=0$ $sin(0)=0$

H (j w) = 1 - e^{- j w} = 0 \Rightarrow e^{- j w} = 1 = e^{0} \Rightarrow w = 0.

$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$

$H(z) = 1\pm z$ $H(jw)=1\pm e^{-jw}$ $e^{-jw}$

$y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ $\pm$ $1\pm z=0$ $e^{jwn}$ $e^{jw(n-1)}$ $e^{jw}$ $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ $1\pm e^{-jw}$ $1\pm z=0$

$y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$

Y (z) = (b_{0} + b_{1} z) X (z) = (b_{0} + b_{1} z) (1 + x_{1} z + x_{2} z^{2} + \dots) = b_{0} + (b_{0} x_{1} + b_{1} x_{0}) z + (b_{0} x_{2} + b_{1} x_{1}) z^{2} + \dots .

$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$

b_{0} + b_{1} z = 0

$b_0+b_1 z = 0$

z = - b_{0} / b_{1},

$z=-b_0/b_1,$

y_{n} (x_{n} = e^{j w n}) = b_{0} e^{j w n} + b_{1} e^{j w (n - 1)} = e^{j w n} (b_{0} + b_{1} e^{- j w}) = e^{j w n} b_{0} (1 - z_{0} e^{- j w}),

$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$

$1-z_0 e^{-jw} = 0$ $e^{-jw} = 1/z_0$ $z$ $z=e^{-jw}$ . The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$ , a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$ . The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$ , under assumption $y_0 = 0$ , has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$ .

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$ . It says that response is infinite when $z=1/a$ . What does it mean if we apply the test signal

x_{n} = e^{j w n} \overset{z}{\leftrightarrow} X (z) = 1 + e^{j w} z + e^{2 j w} z^{2} + \dots = 1 / (1 - e^{j w} z)

$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$ to our system? We'll get

Y (z) = \frac{1}{1 - a z} \frac{1}{1 - e^{j w} z},

$Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or

y_{n} = e^{j w n} + a e^{j w (n - 1)} + a^{2} e^{j w (n - 2)} + \dots = e^{j w n} (1 + a e^{- j w} + a^{2} e^{- 2 j w} + \dots) = \frac{e^{j w n}}{1 - a e^{- j w}} .

$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$ That is, frequency response is

1 / (1 - a e^{- j w}),

$1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when

e^{- j w} = 1 / a,

$e^{-jw}=1/a,$ the same as

z_{p o l e}

$z_{pole}$ above,

e^{- j w} = z_{p o l e} = 1 / a

$e^{-jw}=z_{pole}=1/a$ . But again, you can not always arrive at the pole

1 / a

$1/a$ adjusting the frequency

w

$w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like

(k e^{j w})^{n}

$(ke^{jw})^n$ .

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$ , which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$ , also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$ . It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$ , the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$ .

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.

— Valentin Tihomirov
kaynak