Modüle edilmiş gürültüyü anlamak için hangi matematiksel araçlar var?

Farz edelim ki, Gauss beyaz gürültüsünden oluşan bir sinyal $n$ var. Bu sinyali çarparak modüle edersek $\sin 2\omega t$ , ortaya çıkan sinyal hala beyaz bir güç spektrumuna sahiptir, ancak açıkça gürültü zaman içinde "demetlenir". Bu, döngüsel bir sürece bir örnektir .

x (t) = n (t) \sin 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

Şimdi sinüs ve kosinüs lokal osilatörleri ile karıştırarak I ve Q sinyalleri oluşturarak bu sinyali bir frekansta demodüle ettiğimizi varsayalım $\omega$ :

I = x (t) \times \sin ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

in güç spektrumunun ( çok daha büyük bir zaman aralığında alınmış ) beyaz olduğunu gözlemleyerek, ve her ikisinin de aynı genlikte beyaz Gauss gürültüsü içermesini bekleriz . Bununla birlikte, gerçekte olan, dördünlüğünün zamanlamalarının bölümlerini yüksek varyansla seçici olarak örneklemesi, , fazın doksan derece dışında alt varyans kısımlarını örneklemesidir: $x(t)$ $1/f$ $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

modüle edilmiş gürültü tasviri

Sonuç, I'deki gürültü spektral yoğunluğunun katı. $\sqrt{3}$ $Q$

Açıkça, güç spektrumunun ötesinde, modüle edilmiş gürültünün tanımlanmasında yararlı olan bir şey olmalıdır. Alanımın literatüründe yukarıdaki süreci açıklayan bir dizi erişilebilir makale var, ancak bunun daha genel olarak sinyal işleme / Enerji Verimliliği toplulukları tarafından nasıl ele alındığını öğrenmek istiyorum.

Döngüsel gürültüyü anlamak ve değiştirmek için bazı yararlı matematiksel araçlar nelerdir? Edebiyata yapılan göndermeler de takdir edilecektir.

Referanslar:

Niebauer ve ark., "Durağan olmayan atış gürültüsü ve bunun interferometrelerin duyarlılığı üzerindeki etkisi". Phys. Rev. A 43,5022-5029 .

noise modulation cyclostationary-random-process

— nibot
kaynak

Gösterdiğiniz sonuçları elde etmek için, demodülatörünüz sadece

değil , aynı taşıyıcı frekansı

aşağı dönüştürmelidir .

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— Jason R

@Jason R, Ah, orijinal

modülasyonunda bir hata yaptığımı görüyorum . Poisson gürültüsünden Gauss gürültüsüne geçişteki bir hatadan kaynaklanmaktadır.

2 ω

$2\omega$

— nibot

Burada ne aradığından emin değilim. Gürültü tipik olarak güç spektral yoğunluğu veya eşdeğer olarak otokorelasyon fonksiyonu ile tarif edilir; rastgele bir işlemin otokorelasyon fonksiyonu ve PSD'si bir Fourier dönüşüm çiftidir. Örneğin beyaz gürültü dürtüsel bir otokorelasyona sahiptir; bu Fourier alanında düz bir güç spektrumuna dönüşür.

İşletme Örnek (biraz pratik iken) bir taşıyıcı frekansında bir taşıyıcı modülasyonlu beyaz gürültü gözlemler bir iletişim alıcı benzerdir $2 \omega$ . Örnek alıcı, vericininkiyle uyumlu bir osilatörüne sahip olduğu için oldukça şanslıdır; modülatörde ve demodülatörde üretilen sinüzoidler arasında faz kayması yoktur, bu da ana banda "mükemmel" iniş dönüşümü sağlar. Bu kendi başına pratik değildir; uyumlu iletişim alıcıları için çok sayıda yapı vardır. Bununla birlikte, gürültü tipik olarak, alıcının kurtarmaya çalıştığı modüle edilmiş sinyal ile ilişkisiz olan iletişim kanalının ilave bir elemanı olarak modellenir; bir vericinin gürültüyü modüle edilmiş çıkış sinyalinin bir parçası olarak iletmesi nadirdir.

Bununla birlikte, yolun dışında, örneğinizin arkasındaki matematiğe bakmak gözleminizi açıklayabilir. Açıkladığınız sonuçları elde etmek için (en azından orijinal soruda), modülatör ve demodülatör, aynı referans frekansı ve fazında çalışan osilatörlere sahiptir. Modülatör aşağıdakileri çıkarır:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) \sin (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

Alıcı, aşağı dönüştürülmüş I ve Q sinyallerini aşağıdaki gibi üretir:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

Bazı trigonometrik kimlikler ve biraz daha dışarı çıkmasına yardımcı olabilir : $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

Şimdi aşağı dönüştürülmüş sinyal çiftini şu şekilde yeniden yazabiliriz:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

Giriş gürültüsü sıfır ortalamadır, bu nedenle ve de sıfır ortalamadır. Bu, varyanslarının: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

Sorunuzda ve varyansları arasındaki oranı not ettiniz . Basitleştirilebilir: $I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

Beklentiler rastgele işlem 'nin zaman değişkeni . Fonksiyonlar deterministik ve periyodik olduğundan, bu sadece bir dönem boyunca her sinüzoidal fonksiyonun ortalama kare değerine eşittir; burada gösterilen değerler için, $n(t)$ $t$ , belirttiğiniz gibi. I kanalında daha fazla gürültü gücü elde etmeniz, demodülatörün kendi sinüzoidal referansı ile tutarlı bir şekilde (yani fazda) modüle edilen bir gürültü artefaktıdır. Temeldeki matematiğe dayanarak, bu sonuç beklenmelidir. Ancak daha önce de belirttiğim gibi, bu tür bir durum tipik değildir. $\sqrt 3$

$4 \omega$

\frac{σ_{ben (t)}^{2}}{σ_{S (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

Tutarlı bir dörtlü modülasyon alıcısının amacı budur: faz içi (I) kanala yerleştirilen sinyal, kuadratür (Q) sinyaline sızıntı olmadan alıcının I sinyaline taşınır.

$\omega\$ $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ $B$

$x(t)$ $R(t, \tau)$

R, (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R, (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) günah (2 ω t) günah (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R, (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) günah (2 ω t) günah (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

Orijinal gürültü işleminin beyazlığı nedeniyle $n(t)$ , beklenti (ve dolayısıyla denklemin sağ tarafının tamamı) sıfır olmayan tüm değerler için sıfırdır. $\tau$ .

R, (t, τ) = σ^{2} δ (τ) {günah}^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

Otokorelasyon artık sadece sıfır gecikmede basit bir dürtü değildir; bunun yerine sinüzoidal ölçeklendirme faktörü nedeniyle zamanla değişen ve periyodiktir. Bu, başlangıçta gözlemlediğiniz fenomene neden olur, çünkü $x(t)$ ve varyansın daha düşük olduğu diğer dönemler. "Yüksek varyans" süreleri, onu modüle etmek için kullanılanla uyumlu olan bir sinüzoid tarafından demodüle edilerek seçilir, bu da mantıklıdır.

— Jason R
kaynak

Re: "Bu tutarlı bir dörtlü modülasyon alıcısının amacı ..." - Bu sadece orijinal sinyal taşıyıcı frekansından daha düşük frekanslarla bant sınırlıysa, doğru mu?

— nibot

Re: "Gürültü tipik olarak güç spektral yoğunluğu veya eşdeğer olarak otokorelasyon fonksiyonu ile tarif edilir". Bu döngüsel gürültü (

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$ ) spektral olarak beyaz ve

δ (t)

$\delta(t)$ otokorelasyon fonksiyonu, tıpkı normal (sabit) Gauss gürültüsü gibi. Döngüsel doğasını içine alan bir açıklama arıyorum.

— nibot

Cevabınızı iki yorumunuz hakkında konuşmak için düzenledim.

— Jason R

@ Jason, iyi yazı. Ancak, döngüselleşme süreci hakkında konuştuğunuz kısmı anlamaya çalışıyorum. Burada 't' nin neden R'nin bir fonksiyonu olduğunu anlamakta zorlanıyorum - beklenti operatörünün ardından artık 't' (zaman) değişkeni yok ... sadece tau'nun bir fonksiyonu var.

— Spacey

@ Jason nevermind, istatistiklerin zamanla değiştiği için (döngüsel de olsa), 't' olması gerektiğini fark ettim ve bu nedenle autocorr işlevi de zaman ve gecikmenin bir işlevi olacak ... ama anlamadığım şey bu durumda delta * sin ^ 2'yi nasıl aldınız ...

— Spacey