Asimetrik Bernoulli matrisi RIP'yi tatmin ediyor mu?

Bir tanımlama algılama matris ile olasılığı ile ve olasılığı ile . , kısıtlı izometri özelliğini karşılar mı ? $n\times N$ $A$ $A_{ij} = 0$ $p$ $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ $1-p$ $A$

Referans olarak, simetrik durum aşağıdaki makalede cevaplanmıştır:

RG Baraniuk, MA Davenport, RA DeVore ve MB Wakin, "Rastgele matrisler için kısıtlı izometri özelliğinin basit bir kanıtı," Yapıcı Yaklaşım, 28 (3) s. 253-263, Aralık 2008. ( pdf )

compressive-sensing

— olivia
kaynak

Bu bir işaretçi olabilir: ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (ne yazık ki, ödeme duvarı ve bunun bir OA kopyasını bulamadım). Makaleyi ayrıntılı olarak bilmiyorum, ama hızlı bir bakışta görebildiğim şey, sizin istediğiniz gibi genel bir durum olarak düşünmedikleri; p = 1/2 olduğunu düşünüyorlar. Ayrıca, bu matrislerin RIP'si hakkında ne kadar kapsamlı olduklarını bilmiyorum.

— Thomas Arildsen

Bu bir ipucu da olabilir: rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf (sayfa 98). Ne yazık ki, Bernoulli adlı rastgele değişkenler dediği gibi rastgele +/- 1 - 0/1 değil (Bu Rademacher diyorum).

— Thomas Arildsen

İstatistiklerde aynı gönderi (şimdi silinmiş) üzerinde yaptığım bir yorumun özünü tekrarlamama izin verin.SE : Bu soruyu daha kesin hale getirmek ve tam olarak neyle ilgilendiğinizi ve neyi uyarlamakta zorlandığınızı belirtmek yardımcı olacaktır. @Thomas'ın yorumu önemlidir; biz de size ilgi duyan edilir seyreklik ne derecede (yani sipariş) bilmiyorum. Biz Rademacher fonksiyonları dikkate bile cevap açıkça hiçbir içinde (herhangi bir üniforma

p

$p$ ) anlamda

p

$p$ olmak

1

$1$ (veya yeterince yakın), böylece bir alt matrisin hepsi (yüksek bir olasılık) olabilir. (devamı)

— kardinal

Bir dizi seçerek

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$ bir fonksiyonu olarak

n

$n$ , bu bazıları için doğru olacak

p

$p$ herhangi bir boyut matrisi için. Öte yandan, için sabit

p

$p$ , eğer yapıyı değiştirirsek

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$ olasılıkla

p

$p$ ve

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$ olasılıkla

(1 - p)

$(1-p)$ , o zaman cevap açıkça evet , çünkü bu sıfır ortalama subgaussian rastgele matrislerle ilgili çok daha genel teoriden kaynaklanıyor.

— kardinal

teşekkürler @cardinal, matris

A

$A$ sıfır ortalama değildir, ancak subgaussian rasgele matrisler teorisi bu soruyu cevaplar. Nasıl olduğunu merak ediyordum

A

$A$ normu korumadığı göz önüne alındığında RIP'yi tatmin edebilir, ancak uygun bir ölçeklendirme olduğu açıktır.

A

$A$ bunu yapar

— olivia

Diğerlerinin yorumlarda belirttiği gibi, cevap "Hayır" dır. Matrisin sıfır olmayan ortalaması, sıfır olmayan bir ortalama vektörün (örneğin, hepsi) sıfır ortalaması olan rastgele bir vektöre göre önemli ölçüde daha yüksek kazanca sahip olacağını belirtir (muntazam rastgele + 1, -1).

A çarpı karesinin normal bir y vektörünün n * (p * N) ^ 2 olması beklenir. (beklentilerin tekrarı)

(-1, + 1) 'den homojen olarak çizilen bir x v vektörünün kare normunun n * (p * N) olması beklenir. (Binom dağılımı varyanslarının toplamı ile hesaplanabilir)

X ve y normları aynıdır, ancak dönüştürülmüş normların beklentisi, boyutlar büyüdükçe p * N - ayrılma faktörü ile farklılık gösterir.

İşte size yardımcı olacak matlab kodu.

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— Mark Borgerding
kaynak