Hangi IIR filtreleri bir Gauss filtresine yakındır?

Bu yüzden son zamanlarda Bessel filtrelerinin, diğer yaygın türlerle birlikte listelenmesine rağmen, gerçekten farklı bir "sınıf" a ait tuhaf bir şey olduğu konusunda şaşkına döndüm ve bu konuda daha fazla bilgi edinmeye çalışıyorum.

Dikdörtgen büyüklük yanıtı, ideal bant etki alanı tepkisini temsil eder, çünkü geçiş bandı sıfırdır ve durdurma bandı sonsuz zayıflamaya sahiptir. Diğer yandan, Gauss büyüklüğü tepkisi, dürtü tepkisinde ve adım tepkisinde herhangi bir aşma meydana gelmemesi için ideal zaman alanı tepkisini temsil eder. Uygulamada elde edilen yanıtların çoğu, bu ideal olanlara yaklaşımlardır ^kaynak

Yani bir brickwall filtresi , samimi bir işleve sahip bir evrişimdir ve bu frekans etki alanı özelliklerine sahiptir:

• Düz geçiş bandı
• Sıfır durdurma bandı
• Sonsuz hareket hızı / geçiş bandı yok

Her iki yöndeki sonsuz kuyruklar nedeniyle nedensel değildir ve gerçekleştirilemez. Bu IIR filtreleri ile yaklaşık olarak düzenlenir ve sipariş arttıkça yaklaşım artar:

• Butterworth (maksimum düz geçiş bandı)
• Chebyshev (durdurma bandı veya geçiş bandı dalgalanması ile maksimum kalkış hızı )
• Eliptik (durdurma bandı ve geçiş bandı dalgalanması ile maksimum kalkış hızı )
• Legendre (monotonik geçiş bandı ile maksimum kalkış hızı)

Gauss filtre bir Gauss fonksiyonu ile konvolüsyon olduğunu ve bu zaman alanı özelliklere sahiptir:

• Sıfır aşma
• Minimum yükselme ve düşme süresi
• Minimum grup gecikmesi

Sinc fonksiyonu ile aynı nedenlerle gerçekleştirilemez ve bu IIR filtreleriyle sipariş arttıkça daha yakın bir şekilde tahmin edilebilir:

• ^{1 ve 2'ye göre} Bessel (maksimum düz grup gecikmesi)

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

Yani sorularım:

Her şey yolunda mı? Öyleyse, Gaussian'a yaklaşan başka IIR filtreleri var mı? Ne için optimize edilmişler? Belki de aşımı en aza indiren biri?

"IIR Gaussian" için arama yaparsanız birkaç şey bulabilirsiniz (Deriche? Van Vliet?), Ama gerçekten bir Bessel ile aynı olup olmadıklarını veya başka bir mülk için optimize olup olmadıklarını bilmiyorum.

Deriche ve van Vliet filtreleri sezgiselleri vardır. Her iki durumda da, RMS farkını veya bir Gaussian'dan gelen filtrenin dürtü yanıtının maksimum farkını en aza indirmek için kutupların ve sıfırların yerlerini seçerler.

Her iki filtre de nedensel-nedensel çiftlerdir. Bu yüzden faz hatası veya grup gecikmesi olmadığını düşünüyorum, ancak bunları verilerde olduğu kadar ileriye doğru da çalıştırabilmeniz gerekir. Bu onları görüntü işlemede popüler kılar, ancak belki de başka yerlerde uygulanabilirliklerini kısıtlar.

Sezgisel oldukları, onları değiştiren kağıtların zenginliği ile kanıtlanmıştır. Örneğin, bir google araması (Deriche gazetesine bağlantı ararken) , Deriche türevi filtrenin tam 0 DC yanıtı olmadığı sorununu çözmeye çalışan bir arama çıktı . Sınır koşullarının doğru bir şekilde başlatılmasıyla ilgili bazı ilginç konular da vardır .

Aşağıdaki genel bakışı iyi bir kaynak olarak buldum: Dave Hale, Özyinelemeli Gaussian ters lters , Colorado Dalga Madenleri Okulu Maden Merkezi raporu CWP-546.

Sanırım ayrık zamanlı IIR filtreleri için mevcut analitik çözümlerin güzel bir özetini verdiniz. Ama aynı zamanda ideal frekans seçici filtre özelliklerine yaklaşan filtre listesine Bessel filtreleri de eklerdim. Büyüklük yanıtı, aynı sıradaki diğer filtre türleri kadar keskin bir geçiş göstermez, ancak bu, geçiş bandındaki neredeyse doğrusal bir faz için ödediğiniz fiyattır. Bu nedenle Bessel filtresi, frekans seçici büyüklük yanıtı ile iyi bir faz yanıtı arasında bir uzlaşmadır.

Bir Gauss filtresini IIR filtrelerle yaklaşıklaştırmak için, bahsettiğiniz Bessel filtresinin dışında herhangi bir analitik çözüm bilmiyorum. Ancak Bessel filtresinin bir Gauss filtresine yakın olması gerektiğini unutmayın, bu yüzden böyle bir filtreye yaklaşmada gerçekten ne kadar iyi olduğundan emin değilim. Bu amaç için gerçekten bir IIR filtresi istiyorsanız, Gauss filtresinin sayısal yaklaşımını tercih etmenizi öneririm. Bunu nasıl yapacağınız için birkaç seçenek vardır.

Frekans alanında Gauss filtresine yaklaşmayı deneyebilirsiniz. Sorun, istenen faz yanıtı ile ilgili bazı kararlar vermeniz gerektiğidir. Minimum faz yanıtı ile saf büyüklükte bir yaklaşım, büyük olasılıkla çok zayıf zaman alanı özellikleri ile sonuçlanacaktır. İstenen doğrusal bir faz belirtirseniz, karmaşık bir yaklaşım problemi elde edersiniz (çünkü karmaşık frekans cevabını büyüklük ve faz ile yaklaşık olarak tahmin edersiniz). Böyle bir yaklaşım probleminin çözülmesi oldukça zor olsa da, literatürde yöntemler mevcuttur.

Daha basit ve muhtemelen daha iyi bir yaklaşım, zaman alanındaki Gauss filtresine yaklaşmaktır. Prony'nin yöntemi iyi bir başlangıç ​​noktası olacaktır.

Lütfen bunların sadece konu hakkındaki düşüncelerim olduğunu unutmayın. Ben bir IIR Gauss filtresi kendim tasarlamaya çalışmadım. Buna karşı çok iyi nedenler olmadıkça aslında FIR uygulaması için giderdim.

DÜZENLEME: Bessel filtresinin bir Gaussian'a yaklaşıp yaklaşmadığı sorusuyla ilgili birkaç açıklama daha. Bessel filtresinin bir Gauss filtresine yaklaşırken en aza indirdiği anlamlı bir hata kriteri bilmiyorum. Yine de bunu öğrenmekten memnuniyet duyarım. İnsanlar bir Bessel filtresinin dürtü yanıtının Gaussian'a benzediğini veya frekans cevabının bir Gaussian'a benzediğini iddia edebilir, ancak Bessel'in herhangi bir anlamda bir Gauss filtresine yaklaştığını ve yaklaşık hataların gittiğini gösteren bir kanıt görmedim. filtre sırası arttıkça sıfır olur. Bir Gauss'a diğer standart filtrelerden (Butterworth, Chebyshev, vb.) Daha benzer olduğunu inkar etmiyorum, ancak bu soru için önemli değil.

Octave'de (işlev besself) tasarlanan Bessel filtrelerinin (sipariş 5, 10, 15, 20) dört dürtü tepkisine bakınız. Gördüğünüz gibi, kuyruktaki zil sesi artan filtre sırası ile azalmıyor ve bu filtrelerin Gauss'a nasıl yaklaştığını ve eğer öyleyse hangi iyimserlik ölçütüne göre göremiyorum. Ancak, kimse beni bu konuda aydınlatabilirse, çok mutlu olurum.