Hareketli bir ortalama filtrenin kesme frekansı nedir?

Kesme frekansı 7,8 Hz olan hareketli bir ortalama filtre tasarlamam gerekiyor. Daha önce hareketli ortalama filtreleri kullandım, ancak bildiğim kadarıyla, beslenebilecek tek parametre ortalaması alınacak nokta sayısıdır ... Bu bir kesme frekansı ile nasıl ilişkili olabilir?

7.8 Hz'nin tersi ~ 130 ms'dir ve 1000 Hz'de örneklenmiş verilerle çalışıyorum. Bu, 130 örneklik hareketli ortalama filtre penceresi boyutu kullanmam gerektiği anlamına mı geliyor, yoksa burada eksik olduğum başka bir şey var mı?

Hareketli ortalama filtresinin (bazen bir vagon filtresi olarak bilinir ) dikdörtgen bir dürtü yanıtı vardır:

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

Ya da farklı şekilde ifade etti:

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

Ayrık zamanlı bir sistemin frekans yanıtının dürtü yanıtının ayrık zamanlı Fourier dönüşümüne eşit olduğunu hatırlayarak, aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz:

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

Bunu basitleştirmek için, bir geometrik serinin ilk terimlerinin toplamı$N$ için bilinen formülü kullanabiliriz :

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

Sizin durumunuz için en çok ilgilendiğimiz şey, filtrenin büyüklük yanıtıdır . Birkaç basit manipülasyon kullanarak, bunu daha kolay anlaşılır bir biçimde elde edebiliriz:$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

Bu anlaşılması daha kolay görünmeyebilir. Ancak, Euler kimliğinden dolayı şunu hatırlayın:

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

Bu nedenle, yukarıdakileri şöyle yazabiliriz:

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

Daha önce de belirttiğim gibi, gerçekten endişelendiğiniz şey frekans yanıtının büyüklüğüdür. Böylece, daha da basitleştirmek için yukarıdakilerin büyüklüğünü alabiliriz:

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

Not: Üstel terimleri kaldırabiliriz, çünkü sonucun büyüklüğünü etkilemezler; tüm değerleri için co . Beri | x y | = | x | | y | x ve y gibi sonlu iki karmaşık sayı için, üstel terimlerin varlığının genel büyüklük yanıtını etkilemediği sonucuna varabiliriz (bunun yerine sistemin faz yanıtını etkiler).$|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

Büyüklük parantezlerinin içindeki sonuç işlevi, bir Dirichlet çekirdeğinin bir şeklidir . Bazen periyodik bir içten işlev olarak adlandırılır , çünkü içsel işleve görünüşte biraz benzemektedir, bunun yerine periyodiktir.

Her neyse, kesme frekansının tanımı biraz az belirtildiği için (-3 dB noktası? -6 dB noktası? İlk sidelobe null?), İhtiyacınız olan her şeyi çözmek için yukarıdaki denklemi kullanabilirsiniz. Özellikle, aşağıdakileri yapabilirsiniz:

1. Set kesme frekansında istediğiniz filtre yanıtına karşılık gelen değere ayarlayın.$|H(\omega)|$

2. kesme frekansına eşit olarak ayarlayın . Sürekli zaman frekansını ayrık zamanlı etki alanına eşlemek için ω = 2 π $\omega$ , buradafsörnekleme oranınızdır.$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. Denklemin sol ve sağ tarafları arasında en iyi uyumu sağlayan değerini bulun . Hareketli ortalamanızın uzunluğu bu olmalıdır.$N$

Eğer hareketli ortalama, daha sonra yaklaşık bir kesme frekansının uzunluğu F c O (geçerli N > = 2 normalleştirilmiş bir frekans olarak) F = f / f s isimli:$N$$F_{co}$$N >= 2$$F=f/fs$

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

Bunun tersi

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

Bu formül büyük N için asemptotik olarak doğrudur ve N = 2 için yaklaşık% 2, N> = 4 için% 0.5'in altında hataya sahiptir.

PS: İki yıl sonra, nihayet yaklaşım neydi takip etti. Sonuç, çevresindeki MA genlik spektrumunun bir parabol (2. dereceden Seri) olarak$f=0$

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

sıfır geçişinin yakınında daha kesin olarak yapılabilir$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$$\Omega$

$\alpha=0.95264$

$MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

çözeltisi$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$$2\pi F_{co}=\Omega_{co}$

Yukarıdakilerin tümü, bu yazının konusu olan -3dB kesme frekansı ile ilgilidir.

Bazen belirli bir -3dB kesme frekansına sahip birinci dereceden IIR Düşük Geçişli Filtre (tek kutuplu LPF) ile karşılaştırılabilir bir durdurma bandında bir zayıflama profili elde etmek ilginç olsa da (böyle bir LPF'ye sızdıran entegratör denir, direğe tam olarak değil DC'ye yakın bir kutup olması).

$F=k/N$$1/f$$1/f$

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

Bu IIR filtresi ile benzer gürültü filtreleme özelliklerine sahip bir MA filtresi elde etmek istiyorsa ve 3dB kesme frekanslarını aynı olacak şekilde eşleştirirse, iki spektrumu karşılaştırdıktan sonra, MA filtresinin durdurma bandı dalgalanmasının sona erdiğini fark eder. IIR filtresinin ~ 3dB altında.

IIR filtresi ile aynı durdurma bandı dalgalanmasını (yani aynı gürültü gücü zayıflatmasını) elde etmek için formüller aşağıdaki gibi değiştirilebilir:

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$