Lütfen an + b fonksiyonunun O (n ^ 2) ve Θ (n) 'ye ait olduğu açıklamasını açıklayınız.

Diyelim ki doğrusal bir fonksiyonum var f(n)= an+b, bu fonksiyonun O (n ² ) 'ye ait olduğunu kanıtlamanın en iyi yolu Θ(n)nedir ve ?

Burada matematiksel titizliğe ihtiyacım yok. Bir programcının yanıtına ihtiyacım var. Açıklamanın mantıklı bir yolu.

^{Bu yüzden soruyu matematik soru ve cevaplarına ve Programcılar Soru-Cevaplarına göndermedim.}

Büyük Oh notasyonu (O, Theta, Omega) fonksiyonların büyüme oranları ile ilgilidir.

Bir algoritma uyguladığınızda, veri kümesini artırdığınızda çalışma zamanının nasıl değiştiği belirli bir özelliğe sahiptir. Şimdi, algoritmayı 100 kat daha hızlı çalışacak şekilde optimize edebilirsiniz. Tabii, bu harika, ama aslında aynı algoritma. Benzer şekilde, birkaç yıl içinde bilgisayarlar bugünkünden iki kat daha hızlı olabilir.

Landau notasyonu bu sabit faktörleri soyutlamaktadır. Bir algoritmanın fher zaman başka bir algoritmadan iki kat daha hızlı olup olmadığı önemli değildir g: Belki g4 kat daha hızlı çalışacak şekilde optimize edilebilir veya bunun yerine daha hızlı donanım satın alabilirsiniz. Eğer ona bu perspektiften bakarsanız, bunların "aynı" olduğunu söyleyebilirsiniz. (Bu, pratikte sabit faktörleri (her zaman) göz ardı edebileceğiniz anlamına gelmez.)

Büyük oh bir üst sınırı belirtir, <=ilişkiye benzer .

Bunun 1 < 2doğru olduğunu kabul edeceksiniz . Bu 1, herhangi bir sayıdan daha az olamayacağı anlamına mı geliyor ? Kesinlikle değil. Daha büyük olan sonsuz sayıda sayı vardır 1.

Büyüme oranları ile benzerdir. O(n)"Heteroaril", lineer (veya daha yavaş) büyüyen tüm fonksiyonlar grubunu belirtir. O(n^2)diğer taraftan, ikinci dereceden bir karmaşa (veya daha yavaş) ile büyüyen tüm bu işlevleri ifade eder. Eminim lineer bir fonksiyonun ikinci dereceden bir fonksiyondan daha yavaş büyüdüğünü kabul edersiniz.

Bu nedenle bir işlev birden fazla "Big-oh" sınıfında olabilir.

Farklı işlevlerin aşağıdakilerle karşılaştırılması : (Knuth'un Beton matematiğinden)

Soldan sağa fonksiyonlar daha hızlı büyür.

Ayrıca, n ^ 2 anlamı n ^ 1'den daha hızlı büyür çünkü 2> 1.

Tanımlar

"f daha hızlı veya eşit derecede hızlı büyür"

"f g kadar yavaş veya eşit derecede hızlı büyür"

Yukarıdaki ikisinin kombinasyonu. Fonksiyonun f"eşit derecede hızlı" büyüdüğünü söylüyor g. Bir denklik ilişkisi.

yorumlama

Diyelim ki iki algoritmanız var fve g.

Omega

Varsayım , bütçeniz ne olursa olsun, sisteminize ekleyebileceğiniz sabit bir hesaplama gücü olmadığı anlamına gelir, böylece fher zaman olduğu kadar hızlı çalışır g.

Büyük oh

Varsaymak , yeterli veriye sahipseniz, sisteminize ne kadar bilgi işlem gücü eklediğinizden bağımsız olarak fher zamankinden daha hızlı çalışacağı anlamına gelir g.

Kanıt

Bunu gerçekten kanıtlamaya çalışıyorsanız, Landau notasyonunun tanımlarını kullanarak işlevinizin gerekli koşulları karşıladığını göstermeniz gerekir.

Eğer değerlerini bulmalıyız Yani c, d, n_0durum böyle olduğu anlamına gelmemektedir.

Alt sınır için bunu şu şekilde yapabilirsiniz c:

Keyfi colarak a-1mükemmel olmaktan daha küçük olarak tanımladığımı fark etmek önemlidir . Teta'nın (g) tanımı "orada bir c" vardır. 0'dan büyük olduğu sürece herhangi bir değer olabilir. ( aOlumlu bir gerçek sayı ise, kanıtı biraz değiştirmeniz gerekir, ancak a - 1aslında negatif olabilir)

( aOlumlu olduğunu varsayıyorum , aksi takdirde işlev her zaman büyük değerleri için negatif olacaktır n, bu da çalışma zamanını gösteren bir işlev için hiçbir anlam ifade etmez.)

Üst sınır için yapmayı deneyebilirsiniz, oldukça benzer. Nasıl olduğunu bilmiyorsanız, size bir kanıt sunabilirim.

İpucu: ile başlayın d > a + 1

Dikkat

Bunu yanlış bir şekilde kanıtlamamanız önemlidir. (An + b) 'nin O (n)' de olduğunu varsayar ve oradan giderseniz, ne istediğinizi kanıtlamış olmazsınız. Tüm adımlarınızın her iki yönde de gittiğini doğrulamanız =>gerekir <=>.

Polinomlarla uğraşırken, sadece polinomun derecesini önemsiyorsun. Yani, an + bsadece umursuyorsun n. Öyle an^3 + bn^2 + cn + dolsaydı, sadece umursuyordun n^3.

Yani d derecesine sahip bir polinom her zaman içeride olacaktır Θ(n^d). Basit.

Şimdi Θ ve O arasındaki farktan bahsetmeliyiz. Esasen, sırasıyla ==ve arasındaki farktır <=. Yani her zaman sabit bir faktör içinde olduğuΘ(n) anlamına gelir . her zaman ya sabit bir faktör içinde ya da daha küçük olduğu anlamına gelir .nO(n)nn

Bu araçlar herhangi fonksiyon o Θ(s)herhangi biri için, saynı zamanda olacaktır O(s). Ayrıca, bir işlev içindeyse Θ(s)ve sher zaman başka bir işlevden daha azsa t, bu işlev içeridedir, O(t)ancak değildir Θ(t).

Bütünlük uğruna da vardır Ω(n). Eğer Θtemsil ==ve Otemsil <=, Ωtemsil >=. Yani an + biçindedir Ω(1), Θ(n)ve O(n^2).

Daha önce söylediğim gibi, hangi sınıf polinomlarının bulunduğunu anlamak gerçekten kolay - sadece dereceye bakıyorsunuz. Çalışması kolay başka işlevler de vardır.

Herhangi bir fonksiyon a^bnkeyfi için ave bşeklinde Θ(a^n). Herhangi bir değeri için c >= a, içinde bulundukları O(c^n). Her polinom içerisindedir O(2^n). Esasen bu sadece üstel fonksiyonların her zaman polinomları yendiğini ve üstel fonksiyonun temelinin önemli olduğunu söylüyor.

Logaritmalar tam tersidir. İlk olarak, log_b niçinde olduğu Θ(log n)herhangi b. Bu, bazın logaritmalar için önemli olmadığı anlamına gelir. Bu mantıklıdır, çünkü logaritmalarda farklı bazlar arasında geçiş yapmak sadece bir sabitle çarpılmaktadır. Logaritmik fonksiyonlar da - O(n)yani, bir logaritmik fonksiyon herhangi bir polinomdan daha küçüktür (en azından derece 1).

Bu işlevlerin toplamı göz önüne alındığında, en büyük işlev "kazanır". Yani n + log niçindedir Θ(n)çünkü nterim hakimdir log nterimini. Çarpma daha karmaşıktır. CS için bilmeniz gereken tek şey nlog n, nve arasında olmasıdır n^2.

Fazla matematik kullanmadan, f (n) = an + b işlevini alır ve tüm sabitleri bırakırsınız, bu yüzden bu f (n) = n gibi görünür, sonra yanıtınız QED olarak en yüksek dereceye sahip "n" yi alırsınız. Θ (n)