Önlemin eliptik yörüngeler üzerindeki etkilerini nasıl hesaplıyorsunuz?

Kepler'in ilk yasası, gezegenlerin (ve başka bir cismin yörüngesindeki tüm gök cisimlerinin) yörünge elemanlarını ve ilişkili davranışı hesaplamayı nispeten kolaylaştıran iyi bilinen formüllere sahip eliptik yörüngelerde seyahat ettiğini belirtir. Bununla birlikte, devam eden durgunluk yörüngenin sürekli değiştiği anlamına gelir - ve böylece gezegen aslında başlangıçta yola çıktığı elipste seyahat etmiyor! Durgunluğu ve bununla ilgili etkileri hesaplayabilirsiniz ( bu soru ve cevap faydalıdır), ancak eliptik yörüngenin durmadan nasıl deforme olacağını hesaplamanın herhangi bir yolu var mı?

İyi bir başlangıç ​​noktası, <uzun zaman önce bazı bilim insanlarının ismini yaz> gezegen hareket denklemleri olacaktır. Örneğin, Lagrange'ın gezegen denklemleri (bazen Lagrange-Laplace gezegen denklemleri olarak adlandırılır), Gauss'un gezegen denklemleri, Delaunay'ın gezegen denklemleri, Hill'in gezegen denklemleri ve daha birçoğu vardır. Bu çeşitli gezegensel denklemler arasındaki ortak tema, bazı yörüngesel elemanların zaman türevlerini, bazı genel konumlara göre bozucu kuvvet / sarsıntı potansiyelinin kısmi türevlerinin bir fonksiyonu olarak vermeleridir.

Genel olarak, bu sürecin sonucunu ilk olarak tanımlayabilen tek kelime "sıcak karışıklık" tır. Sıcak bir karmaşa, o eski parlak beyinleri caydırmadı. Çeşitli basitleştirici varsayımlar ve uzun vadeli ortalamalar yoluyla, örneğin,$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$ (apsidal çıkıntı) ve $\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$(düzlemsel hareket). Bunların bir kısmını aşağıdaki Hill'in alıntı yaptığı 1900 çalışmasında görebilirsiniz.

Bu teknikler eski olsa da, bu gezegen denklemleri bugün hala kullanılmaktadır. Bazen "sıcak dağınıklık" olsun, bilgisayarlarımız var artık. İnsanlar, geometrik entegrasyon teknikleri ile birleştirilmiş gezegen denklemlerini, hızlı, doğru, kararlı ve uzun süreler boyunca açısal momentum ve enerjiyi koruyan entegratörler vermek için kullanıyorlar. (Normalde, tüm bunlara sahip olamazsınız. Sadece iki veya üç tane alırsanız şanslısınız.) Bu gezegen denklemlerinin bir başka güzel özelliği de, rezonanslar gibi gerçekten de gizlenmiş özellikleri görmenize izin vermesidir. kartezyen hareket denklemlerinin sıcak karması.

Tarihe göre sıralanmış seçilen referans malzemesi:

Hill (1900), "Delaunay'ın Yönteminin Ay Teorisindeki Gezegensel Hareketin Genel Sorununa Genişletilmesi Üzerine," Amerikan Matematik Derneği İşlemleri , 1.2: 205-242.

Vallado (1997 ve sonrası), "Astrodinamiğin Temelleri ve Uygulamaları", çeşitli yayıncılar. Cüzdanından deldiği delik dışında bu kitapla yanlış gidemezsin.

Efroimsky (2002), "Kepleri elemanları için denklemler: gizli simetri," Matematik Enstitüsü ve Uygulamaları

Efroimsky ve Goldreich (2003), "Hamilton-Jacobi yaklaşımında N-beden probleminin gösterge simetrisi." Matematiksel Fizik Dergisi, 44.12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), Gezegen sistemleri üzerine yüksek lisans dersi, Astronomi Enstitüsü, Cambridge.
Lagrange planet denklemlerinin sonuçları slayt 6'da sunulmuştur.

Ketchum ve diğ. (2013), "Dış Gezegen Sistemlerinde Ortalama Hareket Rezonansları: Baştan Çıkarma Davranışının İncelenmesi." Astrofizik Dergisi 762.2.

Tek konfokal eliptik yörünge, merkezi potansiyelde bağlı bir test partikülünün $-k/r$ veya eşdeğer olarak, Newton yerçekimi ile birbirini çeken (ve negatif toplam enerjiye sahip, yani birbirine bağlı olan) iki nokta benzeri (küresel simetrik iç kütle dağılımları ile) kütlelerin kütlesi.

Diğer her şey eliptik değildir (bağlı olmayan yörüngeler parabolik veya hiperboliktir), ancak çoğu sapma küçüktür. Vücudun kütle dağılımında (özellikle Güneşte) dört kutuplu terimler, yerçekimsel olmayan kuvvetler (toz taneleri üzerinde radyasyon basıncı ve gaz sürüklemesi), Newtonyen olmayan (GR) etkiler, diğer nesnelerden sapmalar (diğer tüm gezegenler). Newton'un kendisi bu son etkinin farkındaydı.

Sapmalar küçükse, o zaman bunları tahmin etmenin geleneksel yolu, pertürbasyon teorisidir , burada pertürbasyon kuvveti perturbled (eliptik) yörünge boyunca birleştirilir. Örneğin, periapsin ilerlemesini elde etmek için, eksantriklik vektörüne yapılan değişiklikler entegre edilebilir. Bu vektörün rotasyonu periapse önceliğine karşılık gelir. Tam olarak bunun bir örneği için bu soruya verdiğim cevaba bakınız .

David Hammen yazdı

İnsanlar geometrik entegrasyon teknikleriyle birlikte gezegen denklemlerini kullanıyorlar ...

Nesne kütleleri, pozisyonlar, hızlar ve ivmeler üzerinde çalışmak için Newton yasalarını kullanarak basit bir sonlu adım simülasyonu da deneyebilirsiniz. Bunun David'in "geometrik entegrasyon teknikleri" dediği şeyin içine girip girmediğinden emin değilim. Demek istediğim, gezegensel denklemleri dahil etmeden yapabiliyorsunuz. Dezavantaj = simülatör, yaklaşımları kullanarak "köşeleri keser" ve bu da modelde eserler olan davranışlara yol açar. Bu dezavantajlar başka teknikler kullanılarak aşılabilir. Avantaj = Kod tasarımını kolaylaştırır, gezegensel denklemlerin (ve varsayımlarının) şovu yönlendirdiği şüphesini ortadan kaldırır.

Birkaç yüz yıla kadar olan dönemlerde Güneş sistemi yörüngelerinde Newton Presyonunu modellemek için basit Leapfrog Entegrasyon tekniğini ( Feynman Lectures cilt I'de ayrıntılı olarak açıklanmıştır) kullanmak için sayısal yöntemlerde uzman olmanıza gerek yoktur. Simülasyonları çeşitli zaman adımlarında çalıştırarak (ör.$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$) sonuçları Excel'de çizme, bir eğri sığdırma ve $dt=0$kabul edilen rakamların% 1'i dahilinde uzun vadeli ortalama Newton dönemine göre sonuçlar elde edebilirsiniz. Uzun vadeli ortalama sonuçlar üreten analitik yöntemlere göre bir diğer avantaj ise davranışları daha kısa zaman ölçeklerinde inceleyebilmenizdir. Örneğin, belirli bir gezegenin (örneğin Merkür) perihelion yönünü ve zamanını grafiklerseniz,$\approx 11.9$Jüpiter'in Güneş etrafındaki hareketinden kaynaklanan sünnet oranında yıllık periyodik dalgalanmalar. Ayrıca "ya eğer?" Oynamak için çok eğlenceli (ve temel kodu yazdıktan sonra çok kolay) sistemdeki cisimlerin sayısını ve özelliklerini değiştirerek ve hatta ek Newtoncu olmayan kuvvetler ekleyerek simülasyonlar.

Alıntılamak için Feymnan: -

Bir hesaplama döngüsünde, probleme bağlı olarak, 30 çarpımımız veya bunun gibi bir şey olabilir, bu nedenle bir döngü 300 mikrosaniye alacaktır. Bu, saniyede 3000 döngü hesaplama yapabileceğimiz anlamına gelir. Milyarda bir parçanın doğruluğunu elde etmek için, güneşin etrafında bir gezegenin bir devrimine karşılık gelmek için 4 × 10 ^ 5 döngüye ihtiyacımız olurdu. Bu, 130 saniye veya yaklaşık iki dakikalık bir hesaplama süresine karşılık gelir. Böylece Jüpiter'i güneşin etrafında takip etmek sadece iki dakika sürüyor, tüm gezegenlerin tüm çarpıklıkları milyarda bir parçaya doğru bu yöntemle!

Ancak simülasyonlardan güvenilir bir şekilde ne çıkarabileceğinizi dikkatlice düşünmeniz gerekir - örneğin, zaman adımınız birkaç yüz saniyeden daha uzunsa, simülasyon, gerçekte gerçekleşen zıt yönde zıtlığı gösterecektir (örn. ilerlemeli olmalıdır).