Giriş

Bugün birinci sınıf lineer cebir öğrencilerinin bane ile ilgileneceğiz: matris kesinliği! Görünüşe göre bunun henüz bir zorluğu yok, işte başlıyoruz:

Giriş

• Herhangi bir uygun formatta bir $n\times n$ simetrik Matris $A$ (tabii ki matrisin sadece üst veya alt kısmını da alabilirsiniz)
• İsteğe bağlı olarak: n matrisinin boyutu$n$

Ne yapalım?

Zorluk basit: Gerçek değerli bir matris $n\times n$ Matris verildiğinde, doğruysa bir doğruluk değeri ve eğer değilse bir falsey değeri çıkararak pozitif kesin olup olmadığına karar verin.

Yerleşik araçlarınızın tam olarak doğru çalıştığını varsayabilirsiniz ve bu nedenle "kanıt" stratejisinin doğru sonuç vermesi durumunda yanlış davranışa yol açabilecek sayısal sorunları hesaba katmak zorunda kalmazsınız.

Kim kazanır?

Bu kod golf , yani bayt (dil başına) en kısa kod kazanır!

---

Zaten pozitif olarak tanımlanmış bir Matris nedir?

Görünüşe göre simetrik bir matrisin pozitif-kesin olduğu zaman 6 eşdeğer formülasyon vardır. Üç kolay olanı yeniden üreteceğim ve daha karmaşık olanlar için sizi Wikipedia'ya yönlendireceğim .

• Eğer $\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$ sonra $A$ pozitif kesin.
  Bu, aşağıdaki gibi yeniden formüle edilebilir:
  Eğer sıfır olmayan her $v$ vektörü için $v$ ve $Av$ (standart) nokta ürünü pozitifse , $A$ pozitiftir.
• İzin ver $\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$ olmaközdeğerlerve$A$ ise, şimdi$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$ (bütün özdeğerler pozitif olan) daha sonra$A$ pozitif kesin.
  Özdeğerlerin ne olduğunu bilmiyorsanız, en sevdiğiniz arama motorunu kullanmanızı öneririm, çünkü açıklama (ve gerekli hesaplama stratejileri) bu yayında yer almak için çok uzun.
• Eğer Cholesky-Ayrışma bir $A$ var, yani bir alt üçgen matris vardır $L$ öyle ki $LL^T=A$ daha sonra $A$ pozitif kesin. Herhangi bir noktada algoritma sırasında kök hesaplaması negatif bir argüman nedeniyle başarısız olursa, bu, erken dönen "false" ile eşdeğerdir.

Örnekler

Doğru çıktı için

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

Falsey çıkışı için

(en az bir özdeğer 0 / pozitif yarı tanımlıdır)

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(özdeğerlerin farklı işaretleri / belirsizliği vardır)

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(0'dan küçük tüm özdeğerler / negatif belirli)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(0'dan küçük tüm özdeğerler / negatif belirli)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(0'dan küçük tüm özdeğerler / negatif belirli)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(üç pozitif, bir negatif özdeğer / belirsiz)

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C, 108 bayt

Logern sayesinde -1 bayt Tavan kedisi
sayesinde -3 bayt

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

Çevrimiçi deneyin!

Gauss eliminasyonunu gerçekleştirir ve tüm diyagonal elemanların pozitif olup olmadığını kontrol eder (Sylvester'in kriteri). Bağımsız değişken n, matrisin eksi bir boyutudur.

MATLAB / Oktav , 19 17 12 bayt

@(A)eig(A)>0

Çevrimiçi deneyin!

Eig işlevi özdeğerleri artan düzende sağlar, bu nedenle ilk özdeğer sıfırdan büyükse, diğerleri özendir.

Jöle , 11 10 bayt

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

Sylvester'in ölçütünü kullanır .

Çevrimiçi deneyin!

Nasıl çalışır

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R , 29 bayt

function(m)all(eigen(m)$va>0)

Çevrimiçi deneyin!

---

Cholesky kullanarak alternatif:

R , 3433 bayt

function(m)is.array(try(chol(m)))

Çevrimiçi deneyin!

@Giuseppe sayesinde -1 bayt

Haskell , 56 bayt

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

Çevrimiçi deneyin!

Temelde nwellnhof'un cevabının bir limanı . Gauss yok etme işlemini gerçekleştirir ve ana diyagonaldeki öğelerin pozitif olup olmadığını kontrol eder.

Yuvarlama hataları nedeniyle ilk falsey çıktısında başarısız olur, ancak teorik olarak sonsuz hassasiyetle çalışır. Sayesinde Curtis Bechtel'in önerisi , şimdi çıkışlar hepsi doğru.

Wolfram Dili (Mathematica) , 20 bayt

0<Min@Eigenvalues@#&

Çevrimiçi deneyin!

MATL , 4 bayt

Yv0>

Çevrimiçi deneyin!

[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$

Mathematica, 29 28 bayt

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

Tanım 2.

Julia 1.0 , 28 bayt

using LinearAlgebra
isposdef

Çevrimiçi deneyin!

---

Julia 0.6 , 8 bayt

isposdef

Çevrimiçi deneyin!

MATL , 6 bayt

Daha az bayt kullanarak bunu yapmak mümkündür, @Mr. Xcoder 5 bayt MATL cevabı bulmayı başardı !

YvX<0>

açıklama

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

Çevrimiçi deneyin!

Akçaağaç , 33 bayt

(yani 2 sentim)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript (ES6),  99 95  88 bayt

$0$$1$

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

Çevrimiçi deneyin!