Mükemmel yansımalar için neden bir yüzey G2 sürekliliğine sahip olmalıdır?

Mükemmel yansımalar için neden bir yüzey G2 sürekliliğine (A sınıfı yüzey) sahip olmalıdır?

Matematiksel bir cevap istiyorum.

rendering

— Valerio
kaynak

Herhangi bir bağlam? Ya da bunu okuduğunuz yere bakın? Çünkü bu bana mantıklı gelmiyor. Ayrıca, yanılmıyorsam, Gn sürekliliği sadece parçalı polinom yüzeyler için tanımlanır, bir yüzeyin polinom olması için bir neden yoktur ve pratikte yüzeylerin çoğu parçalı doğrusaldır.

— tom

G2 sadece herhangi bir parametrelendirmeden bağımsız olarak geometrik n-türevinden bahseder.

— Fabrice NEYRET

@tom CAD'de olduğu gibi genel yüzey tasarımından bahsediyor. Hayır, polinomlara ihtiyaç duymazlar, ancak pratikte genellikle (dairesel yaylar ve konikler hariç)

— joojaa

@joojaa Neden hala özel gösterimin Gn kullanıldığını merak ediyorum. Matematikte standart Cn diferansiyellenebilir manifold kavramı vardır. Peki Gn ve Cn aynı mı? Gn manifoldunun parça bazlı polinom olduğunu düşündüm, bu yüzden yama dikişleri hariç C-infty manifoldu.

— tom

@ C C sürekliliği parametrik sürekliliktir ve G, geonetrik sürekliliktir ve bu durumda 2 ayrı geometri üzerinde sürekliliktir.

— joojaa

Yanıtlar:

Yansımaları gördüğünüz şey, pozisyonların türevi olan normallerin n-sürekliliğidir. -> Sadece G1 yüzeyi sadece G0 normal alanına sahiptir, yani normallerde ani degrade değişimi (ve böylece yansımalar), gözlerin fark edebileceği. G2 yüzeyleri, gözleriniz için yeterince pürüzsüz olan G1 normal alanlarına sahiptir.

— Fabrice NEYRET
kaynak

G0 Süreklilik, ayrı yüzeylerin buluştuğu,
G1 Yüzeylerin aynı açıda buluştuğu süreklilik,
G2 Süreklilik, açıdaki değişimin temas noktasında eşleştiği anlamına gelir.

G2 gereksinimi, yüzeyin iyi kalitede olduğu anlamına gelmez. Sadece bu olmadan yüzeyin sürekli bir yansıma akışına sahip olmayacağı anlamına gelir, böylece insanlar farkı görebilir. Bu iyi bir şey olabilir veya olmayabilir, ne istediğinize bağlıdır.

Matematiksel olarak yüzey normal:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

Her iki taraf da türetildiği için, normal yüzey fonksiyon alanının orijinal yüzeyden bir derece daha az olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, yansımanın birinci derece sürekli olması için, ikinci derece bir sürekliliğe sahip olması gerekir.

Şimdiye kadar yüzeyin sürekliliği ile yansımanın sürekliliği arasındaki ilişkiyi kurduk. Şimdiye kadar hiçbir şey yüzey yansımasının birinci derece sürekli olması gerektiğini kanıtlamaz. Neden matematik alanından çıkıp biyoloji alanına girmemiz gerektiğini anlamak için.

Göz retina üzerinde yapısal bir seviyede bir kenar algılama algoritması ile donatılmıştır. Bu kenar algılama algoritması özünde giriş sinyalinin ayrı bir türevi olarak çalışır. Yani, yüzeyiniz sürekli G2 değilse, insan kenarı tespiti devreye girer ve kendini gösterir. Referanslar için Mach Bantları ve benzerlerini okuyun .

Kenar tespiti ayrık olduğu için G2 sürekliliği yeterli değildir. Değişim sadece yerel olarak değil, aynı zamanda retinada da tatmin edilmelidir. Bu nedenle, değişiklik sorun yaratmayacak kadar sığ olmalıdır.

— joojaa
kaynak

"Değişim sadece yerel olarak değil aynı zamanda retinada da tatmin olmak zorunda" demek?

— Dan Hulme

Göz sürekli bir sinyal kaydetmiyor. Ayrık, yani yüzeyiniz teknik olarak matematiksel düzeyde sunulan koşulu karşılasa bile. Diktatör örnekleme aralığının değişikliği görmemesi yeterli olmayabilir. Bu nedenle, eğim hala insan gözünün fark edebileceği kadar büyük olmalıdır.

— joojaa

Görünüşe göre türev (normalin) sadece sürekli olmak zorunda değil, türevi bir sınırın altında olmak zorunda. Demek istediğin buysa, cevabının son paragrafının daha açık olabileceğini düşünüyorum.

— Dan Hulme

@DanHulme, türevi bir sınır değil, sadece eğim sorunu değil, eğimin iç duvarı. Bu yüzden ayrı bir örnekleme ile ilgilidir. Bu yüzden çok keskin bir açı ancak eğimdeki küçük fark sürekli görünebilir. Aynı şekilde kısa bir duvar arası altındaki sürekli değişiklikler keskin görünebilir. Matematikle ilgili değil, örnekleme ile ilgili. Biyolojik bir sistem olarak nitelendirilmesi zor.

— joojaa