10 tabanından geçmeden herhangi bir tabandan herhangi bir tabana dönüşmenin ardındaki matematik mi?

Herhangi bir tabandan herhangi bir tabana dönüşmenin ardındaki matematiğe bakıyordum. Bu, sonuçlarımı her şeyden çok onaylamakla ilgili. Mathforum.org'daki cevabımın neye benzediğini buldum ama haklı olup olmadığımdan hala emin değilim. Daha büyük bir tabandan daha küçük bir tabana dönüşüm yapıyorum, çünkü sadece bir sonraki rakamı tekrarlamak istediğiniz ilk rakamı baz ile çarpın. Benim sorunum daha küçük bir tabandan daha büyük bir tabana geçişte ortaya çıkıyor. Bunu yaparken, istediğiniz daha büyük bir tabanı, sahip olduğunuz daha küçük bir tabana nasıl dönüştürmeniz gerektiği hakkında konuşurlar. Bir örnek, taban 4'ten taban 6'ya, 6 sayısını taban 4'e 12'ye dönüştürmeniz gerekir. Daha sonra, büyükten küçüğe çevirirken yaptığınız gibi yapın. Bununla ilgili zorluk, bir rakamın diğer tabanda ne olduğunu bilmenizin gerekmesi. Bu yüzden, 6'nın üs 4'te olduğunu bilmek zorundaydım. Bu, aklımda büyük bir sorun yaratıyor, çünkü o zaman bir masaya ihtiyacım olacaktı. Bunu daha iyi yapmanın bir yolunu bilen var mı?

Temel bir dönüşümün yardımcı olacağını düşündüm ama bu işi bulamadım. Ve siteden, 10 tabanından geçmeden tabandan tabana dönüşüm yapmanıza izin veriyor gibi gözüküyor ama ilk sayıyı tabandan tabana nasıl dönüştüreceğinizi bilmeniz gerekiyor. Bu biraz anlamsız kılıyor.

Yorum yapanlar bir mektubu sayıya dönüştürebileceğimi söylüyor. Eğer öyleyse bunu zaten biliyorum. Ancak bu benim sorunum değil. Benim sorunum, büyük bir tabanı küçük bir tabana dönüştürmek için önce sahip olduğum taban numarasını istediğim taban numarasına dönüştürmem gerekiyor. Bunu yaparken amacı yenerim çünkü bu üsleri başka üslere dönüştürebilirsem sorunumu zaten çözmüştüm.

Düzenleme: 10'dan küçük veya ona eşit tabanlardan 10'a eşit veya daha küçük diğer bazlara nasıl dönüştürüleceğini düşündüm. Sorun 10'dan büyük bir tabandan 10'dan büyük başka bir tabana dönüştürürken başlar veya 10'dan küçük bir tabandan 10'dan büyük bir tabana geçerken koda ihtiyacım yok. koda uygulanır.

Bu bana çok temel bir soru gibi görünüyor, bu yüzden size biraz ders verdiğim için özür dilerim. Burada öğrenmeniz için en önemli nokta, bir sayının rakam gösterimi olmamasıdır . Sayı soyut bir matematiksel nesnedir, onun rakam gösterimi somut bir şeydir, yani bir kağıt üzerinde bir semboller dizisi (veya hesaplama belleğindeki bir bitler dizisi veya bir sayıyı ilettiğinizde yaptığınız bir sesler dizisi). Ne aklını karıştırıyor asla olmasıdır bkz bir sayı ama her zaman onun basamaklı temsilini. Yani numara olduğunu düşünerek sonuna kadar olan temsili.

Bu nedenle sorulması gereken doğru soru, "bir tabandan diğerine nasıl dönüştüğüm" değil, "hangi sayının belirli bir rakam dizesiyle temsil edildiğini nasıl bulabilirim" ve "bir rakamın gösterimini nasıl bulabilirim? verilen numara ".

Öyleyse Python'da bir sayı gösterimi sayıya çevirmek için diğeri işlevini yapmak için iki işlev üretelim. Not: Biz işlevini çalıştırdığınızda Python ders olacaktır ekranda baskı o tabanındaki 10'dan var Ama sayısı bu mu değil bilgisayar (ki değil) temel 10 sayı tutuyor anlamına gelir. Öyle ilgisiz bilgisayar sayılarını temsil eder nasıl.

def toDigits(n, b):
    """Convert a positive number n to its digit representation in base b."""
    digits = []
    while n > 0:
        digits.insert(0, n % b)
        n  = n // b
    return digits

def fromDigits(digits, b):
    """Compute the number given by digits in base b."""
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + d
    return n

Bunları test edelim:

>>> toDigits(42, 2)
[1, 0, 1, 0, 1, 0]
>>> toDigits(42, 3)
[1, 1, 2, 0]
>>> fromDigits([1,1,2,0],3)
42

Dönüştürme işlevleriyle donanmış sorununuz kolayca çözülür:

def convertBase(digits, b, c):
    """Convert the digits representation of a number from base b to base c."""
    return toDigits(fromDigits(digits, b), c)

Bir test:

>>> convertBase([1,1,2,0], 3, 2) 
[1, 0, 1, 0, 1, 0]

$b$$c$

Bunu anlamanın en iyi yolunun bir uzaylıyla (en azından analoji olarak) tartışılması olduğunu düşünüyorum.

$x$$b$$x$$<b$

Örnekler 10010011011 rakamlarının dizisi, 2 tabanındaki bir sayıdır, 68416841531 dizisi, 10 numaralı sayıdaki bir sayıdır, BADCAFE, 16 numaralı sayıdaki bir sayıdır.

$q$$b$

$b$$b$$q$

$$\begin{array}{rcl} [\![\epsilon]\!] &=& 0 \\ [\![\bar s d]\!] &=& [\![\bar s]\!] \times b + d \end{array}$$

$\epsilon$$\bar s d$$d$

$b$$q$

$\times$$+$$q$$q$

---

$0123456789XYZ$$\alpha \beta \gamma \delta \rho \zeta \xi$

Bu yüzden alfabenizi gördüm ve bunu şöyle sıraladım:

$$\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|} \hline 0 & \alpha & 1 & \beta & 2 & \gamma \\ 3 & \delta & 4 & \rho & 5 & \zeta \\ 6 & \xi & 7 & \beta\alpha & 8 & \beta\beta \\ 9 & \beta\gamma & X & \beta\delta & Y & \beta\rho \\ & & Z & \beta\zeta & & \\ \hline \end{array}$$

$\beta\xi$

$60Z8$

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ \end{array}$$

$\beta \zeta \times \beta\xi$

Quux çarpım tablosu

$$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline \\ \times & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \hline \beta & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \gamma & \gamma & \rho & \xi & \beta\beta & \beta\delta & \beta\zeta \\ \delta & \delta & \xi & \beta\gamma & \beta\zeta & \gamma\beta & \gamma\rho \\ \rho & \rho & \beta\beta & \beta\zeta & \gamma\gamma & \gamma\xi & \delta\delta \\ \zeta & \zeta & \beta\delta & \gamma\beta & \gamma\xi & \delta\rho & \rho\gamma \\ \xi & \xi & \beta\zeta & \gamma\rho & \delta\delta & \rho\gamma & \zeta\beta \\ \beta\alpha & \beta\alpha & \gamma\alpha & \delta\alpha & \rho\alpha & \zeta\alpha & \xi\alpha \\ \hline \end{array}$$

$\beta \zeta \times \beta\xi$

$$\begin{array}{ccc} & \beta & \zeta \\ \times & \beta & \xi \\ \hline & \xi & \gamma \\ & \rho & \\ \beta & \zeta & \\ \hline \delta & \beta & \gamma \\ \gamma & & \\ \end{array}$$

bu yüzden bu kadar uzağa var

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ \end{array}$$

Şimdi daha önce belirtilen algoritmayı kullanarak eklemeyi yapmam gerekiyor:

$$\begin{array}{ccc} \delta & \beta & \gamma \\ & \beta & \beta \\ \hline \delta & \gamma & \delta \\ \end{array}$$

yani

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \gamma \delta \\ \end{array}$$

$$[\![60Z8]\!] = \zeta\delta\xi\gamma\rho.$$

---

$q$$b$$q$

Bu sadece bir üstlenmeden (Python 3) 'dir Andrej en kodu. Andrej'in kod numaraları bir basamak listesiyle (skalarlar) gösterilirken, aşağıdaki kod numaraları özel bir dizgeden alınan bir semboller listesiyle temsil edilir :

def v2r(n, base): # value to representation
    """Convert a positive number to its digit representation in a custom base."""
    b = len(base)
    digits = ''
    while n > 0:
        digits = base[n % b] + digits
        n  = n // b
    return digits

def r2v(digits, base): # representation to value
    """Compute the number represented by string 'digits' in a custom base."""
    b = len(base)
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + base[:b].index(d)
    return n

def b2b(digits, base1, base2):
    """Convert the digits representation of a number from base1 to base2."""
    return v2r(r2v(digits, base1), base2)

Özel bir temelde değerden gösterime dönüşüm gerçekleştirmek için:

>>> v2r(64,'01')
'1000000'
>>> v2r(64,'XY')
'YXXXXXX'
>>> v2r(12340,'ZABCDEFGHI') # decimal base with custom symbols
'ABCDZ'

Temsilden (özel bir temelde) değere dönüşüm yapmak için:

>>> r2v('100','01')
4
>>> r2v('100','0123456789') # standard decimal base
100
>>> r2v('100','01_whatevr') # decimal base with custom symbols
100
>>> r2v('100','0123456789ABCDEF') # standard hexadecimal base
256
>>> r2v('100','01_whatevr-jklmn') # hexadecimal base with custom symbols
256

Bir saklama tabanından diğerine bir temel dönüşüm gerçekleştirmek için:

>>> b2b('1120','012','01')
'101010'
>>> b2b('100','01','0123456789')
'4'
>>> b2b('100','0123456789ABCDEF','01')
'100000000'

Temel dönüşüm işleminin temel işlemi toDigits()@AndrejBauer cevabının çalışmasıdır. Bununla birlikte, bunu yapmak için, sayıların iç gösteriminde, temel olarak taban 2 gösteriminden bir dönüşüm olan bir sayı oluşturmaya gerek yoktur. Gerekli işlemleri orijinal baz gösterimlerinde yapabilirsiniz.

Yani ilk adım tekrarlayan modulo bölünme işlemi yapmaktır

def convertBase(n,original_base,destination_base):
    digits = []    
    while not is_zero(n):
        digits.insert(0,modulo_div(n,original_base,destination_base))
    return digits

Dahili gösterim rakamlar olduğundan, sıfır test etmek için belirli bir fonksiyon yapmak gerekir.

def is_zero(n):
    for d in n:
        if d != 0:
            return False
    return True

Sonunda, aslında okulda öğrendiğimiz gibi varış yerine göre standart bölüm olan modulo_div işlemi gerçekleştirilmelidir.

def modulo_div(n,original_base,destination_base):
    carry = 0
    for i in range(len(n)):
        d = n[i]
        d+=original_base*carry 
        carry = d%destination_base 
        d=(d//destination_base)
        n[i] = d
        #print(i,d,carry)
    return carry

sadece kodun doğru olduğunu doğrulayan bir test kontrolü yapın:

print(convertBase([1,1,2,0], 3, 2))
#[1, 0, 1, 0, 1, 0]

print(convertBase([1, 0, 1, 0, 1, 0], 2, 3))
#[1, 1, 2, 0]

Bir bilgisayar programı gerektirmeyen temel dönüşüm yapmak için kolay bir yol biliyorum. Herhangi bir tabandan üs 2'ye dönüşümün bir yolunu tanımlamak ve bunun tersini yapmak ve sonra bir tabandan bir başkasına örtmek ilk önce ilk tabandan taban 2'ye dönüştürmek ve sonra taban 2'den diğer tabana dönüştürmek suretiyle gerçekleştirilir. 2 çarpmak veya herhangi bir tabanda bölmek çok kolaydır.

Herhangi bir tabandan taban 2'ye dönüştürmek için tek yapmanız gereken, herhangi bir sayı için, taban 2 notasyonunu alırsanız ve 0'dan başlayıp her basamak için soldan sağa iki sıra sırasına basarsanız, 1 rakamdan iki katına çıkarsa, bu rakam 1 ise, bu sayının kendisine gelir. Şimdi, bu sayıyı herhangi bir temelde verdiğinizde, bir bölüm ve geri kalanı elde etmek için o temelde 2'ye bölebilirsiniz. Kalan 1 ise, son ikili hane 1'dir ve geri kalan 0 ise, son ikili hane 0'dır. Yine 2'ye bölün. Kalan 1 ise, ikinci son hane 1'dir ve geri kalan 0 ise, ikinci son hane 0 olur ve 0 olanı alana kadar devam eder.

Taban 2'den herhangi bir tabana dönüştürmek için tek yapmanız gereken o tabanda, 0'dan başlamak, sonra soldan sağa doğru giden her ikilik basamak için, o basamakta iki katına, o basamak 0 ise iki kat ve 1 Bu rakam 1 ise temel.

Baz n'den baz 10'a, bazı orta bazlara dönüşüm olmadan dönüştürebilirsiniz.

Baz n'den baz 9'a dönüştürmek için, örneğin, baz 10'a dönüşüm algoritmasını alırsınız ve “10” u “9” ile değiştirirsiniz. Başka bir üs için aynı.