Verimli Algoritma Nedir?

Asimptotik davranış açısından "etkili" algoritma nedir? Çizgiyi o noktada çizmenin standardı / nedeni nedir? Şahsen, naif olarak "alt polinom" diyebileceğim her şeyin,$f(n) = o(n^2)$ gibi $n^{1+\epsilon}$ verimli olur ve $\Omega(n^2)$"verimsiz" olur. Ancak, herhangi bir polinom düzenindeki herhangi bir şeyin verimli olarak adlandırıldığını duydum. Sebep nedir?

Bu bağlama bağlıdır. Teorik bilgisayar biliminde, genellikle her polinom zaman algoritması 'verimli' olarak kabul edilir. Yaklaşık algoritmalarda, örneğin$n^{1/\epsilon^{1/\epsilon}}$ pratikte herhangi bir makul değeri için kullanılamayacak olsa da, verimli sayılır $\epsilon$. SAT için çalışan bir algoritma$n^{2^{100}}$ inanılmaz bir atılım olurdu.

Klasik algoritmalarda, yani 80'li ve daha önceki algoritmalarda, aşağıdaki çalışma zamanları $n^3$ya da öylesine (düşün matris çarpımı, minimum maliyet eşleştirmesi, akışlar, doğrusal programlama) verimli sayılır. Diyorum ki, hala çoğu insan tarafından verimli kabul ediliyor. Tabii ki$n^2$ algoritması, $n\log n$ algoritma, örneğin sıralama için olduğu bilinmektedir.

Günümüzde terabaytlarca veriyle başa çıkabilen alt doğrusal algoritmalara veya akış algoritmalarına doğru bir eğilim vardır. Google dizinindeki tüm sayfaların sayfa sıralamasını hesaplamak için matris çarpımını kullanmayı deneyin. Bu işe yaramaz.

Tabii ki, kesinlikle yararlı olsa da, bir algoritmanın asimptotik çalışma zamanı tüm hikayeyi anlatmaz. İyi asimptotik çalışma süresine sahip algoritmalar vardır, ancak etkili bir şekilde kullanılamayacak kadar büyük sabitler. Hiç. Lipton onlara Galaktik Algoritmalar diyor . Robert Sedgewick bile, en kötü durum sınırlarının “ bilimi çoğunlukla işe yaramaz, genellikle garantiler için işe yaramaz olduğunu” ve “en kötü durum analizinin performansı tahmin etmek için işe yaramaz olduğunu” konuşmasında Bilimi Bilgisayar Bilimine Geri Koymak .

Dağıtık algoritmaların açıdan Benim 2 sent: dağıtılmış algoritma olarak kabul edilir büyük ölçekli ağları (P2P, sosyal ağlar, vs.) bakarken verimli onun çalışma süresi ise$O(\log^c n)$ bir süreliğine $c>0$ ve algoritma$O(\log n)$bit. Mesaj boyutlarına olan gereksinimin genellikle çalışma süresinden daha da önem verildiğine dikkat edin, özellikle de çalışma süresinde daha büyük bir alt sınırı olan "küresel" sorunlar, örneğin dağıtılmış MST için.

Bunun ardındaki mantık, asimtotik davranış açısından bakıldığında, polinom büyüme hızının, süper polinom büyüme hızından çok daha az olmasıdır. Pratikte, giriş boyutu büyüdüğünde bir polinom zaman algoritması bir süper polinom zaman algoritmasından çok daha hızlı çalışır.

Tabii ki, hiç kimse, örneğin, polinom karmaşıklığı olan bir algoritmanın, $O(n^{2000})$ "verimli" olmakla birlikte, algoritmaların çoğunluğu nadiren $O(n^5)$.

Pratik hususlar size şunu söyleyebilir: $O(n^2)$son derece büyük bir girdiyi işlemek için yetersizdir ve bu yüzden daha düşük sınırları kanıtlamaya ve bir tarafta bu alt sınırlarla eşleşen sıralı algoritmalar tasarlamaya ve diğer tarafta paralel algoritmalara başvurmaya çalışıyoruz. Bazı sorunlar için, olasılıklı bir garantiyi kabul etmek istiyorsanız, alt doğrusal zaman algoritmalarından bile faydalanabilirsiniz (son derece hızlı, ancak çok küçük bir olasılıkla doğru bir cevap sağlayamayabilir).

Teorik olarak, bir algoritmanın en kötü çalışma süresi giriş uzunluğundaki bir polinom ile sınırlı olması durumunda verimli olduğu söylenir. Bunun nedeni, polinomların güzel kapatma özelliklerine sahip olmasıdır. Polinomları eklemek, çoğaltmak, oluşturmak, polinomları veren işlemlerdir ve eğer birbirinize problemleri azaltıyorsanız bunlar iyidir.

Tabii ki, giriş uzunluğu arttıkça polinom ve üstel arasındaki boşluk çok büyük hale gelir, böylece polinom-zaman algoritmaları çok daha iyidir. Uygulamada, bir polinom-zaman algoritması sonlandırılmadan önce uzun sürebilir, ancak bunun optimal bir algoritma (mümkün olan en iyi) olması muhtemel olabilir, bu durumda etkili olduğunu söyleyebilirim.

Bazı problemler kolay, bazıları zor. Bir algoritmanın "verimli" olup olmadığı, sorunun doğallığı ile ne kadar iyi karşılaştırıldığına bağlıdır. O'da herhangi bir n basamaklı sayıyı etkileyen bir algoritma bulursanız ($n^3$), ve O (n) sayıları sıralayan bir algoritma bulmak$n^2$), daha sonra algoritmanız daha verimlidir (çünkü insanlık tarafından bilinen herhangi bir şeyi büyük bir faktörle yener, benimki ise mutlak bir başlangıçtan beklediğiniz kadar yavaştır).