Grafiğe kenar eklerken en kısa kaç uzaklık değişir?

Let bir tam, ağırlıklı, yönsüz çizge. İkinci bir grafik oluşturmak kenarları tek tek ekleyerek için . Toplamda kenarlarını ye ekliyoruz .G ′ = ( V , E ′ ) E E ′ Θ ( | V | ) G $G=(V,E)$$G'=(V, E')$$E$$E'$$\Theta(|V|)$$G'$

ye bir kenar eklediğimiz her zaman , ve içindeki tüm çiftler arasındaki en kısa mesafeleri göz önünde bulundururuz . Ekleme sonucu bu en kısa mesafelerin kaç tanesinin değiştiğini sayıyoruz . Let kısa mesafelerin sayı değişim biz eklerken inci kenar ve izin biz toplam ekleme kenarların sayısını olabilir.E ' ( V , E ' ) ( V , E ' ∪ { ( u , v ) } ) ( u , v ) Cı- ı i $(u,v)$$E'$$(V, E')$$(V, E' \cup \{ (u,v) \})$$(u,v)$$C_i$$i$$n$

ne kadar büyük ?$C = \frac{\sum_i C_i}{n}$

Şöyle , de. Bu sınır iyileştirilebilir mi? , eklenen tüm kenarların üzerinde bir ortalama olarak tanımladığımı unutmayın; bu nedenle, birçok mesafenin değiştiği tek bir tur, olduğunu kanıtlasa da ilginç değildir .C = O ( n, 2 ) Cı- C = Ω ( n $C_i = O(|V|^2)=O(n^2)$$C=O(n^2)$$C$$C = \Omega(n)$

I çalışmaları bu iştahla geometrik t-anahtar hesaplanması için bir algoritma sahip bu durumda, zaman olduğu ise, benim algoritması, daha hızlı orijinal hırslı algoritmasına göre ve olduğu gerçekten küçük, potansiyel olarak en iyi bilinen algoritmadan daha hızlı (bundan şüphem olsa da).C o ( n 2 ) $O(C n \log n)$$C$$o(n^2)$$C$

İyi bir sınırlamaya yardımcı olabilecek probleme özgü bazı özellikler: eklenen kenar her zaman grafikte zaten bulunan herhangi bir kenardan daha büyük ağırlığa sahiptir (kesinlikle kesinlikle daha büyük değildir). Ayrıca, ağırlığı, ve arasındaki en kısa yoldan daha kısadır .u $(u,v)$$u$$v$

Köşelerin bir 2d düzlemindeki noktalara karşılık geldiğini ve köşeler arasındaki mesafelerin bu noktalar arasındaki Öklid mesafeleri olduğunu varsayabilirsiniz. Yani, her köşe , düzlemdeki bir noktaya karşılık gelir ve bir kenar için ağırlığı, değerine eşittir.( x , y ) ( u , v ) = ( ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ) $v$$(x,y)$$(u,v)=((x_1,y_1),(x_2,y_2))$$\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.}$

düğümleri, n kenarları ve sert bir şekilde seçilen ağırlıkları olan aşağıdaki doğrusal zinciri göz önünde bulundurun :$n+1$$n$

^{[ kaynak ]}

$n \in \mathcal{O}(|V|)$$(u_i,b_j)$$i,j = 1,\dots,k$$k \approx \frac{n}{4}$$n \in \Theta(|V|)$$\Theta(|V|)$$\Theta(|V|^2)$

$n+2$$u_{k-1}$$b_{k-1}$$(u_1,b_1)$$\Theta(|V|^3)$

$(c_1,c_2)$$\approx n$$\approx \sum_{i=1}^{n}i^2 \in \Theta(n^3) = \Theta(|V|^3)$