“İki kat” aritmetik ilerleme 3SUM'u tespit etmek zor mu?

Bu bir röportaj sorusundan esinlenmiştir .

Biz tamsayı dizisi verilir ve varsa ayrı belirlemek zorunda i < j < k öyle$a_1, \dots, a_n$$i \lt j \lt k$

• $a_k - a_j = a_j - a_i$
• $k - j = j - i$

yani diziler ve { i , j , k } aritmetik her ikisi de.$\{a_i, a_j, a_k\}$$\{i,j,k\}$

Bunun için kolay bir algoritması vardır, ancak alt-karesel bir algoritma bulmak zor görünmektedir.$O(n^2)$

Bu bilinen bir sorun mu? Bunun 3SUM sertliğini kanıtlayabilir miyiz? (veya belki ikinci dereceden bir algoritma sağlayabilir?)

İsterseniz, olduğunu varsayabilirsiniz . . . < Bir n ve bir r + 1 - Bir r ≤ K bazı bilinen sabiti K > 2 . (Görüşme probleminde, K = 9 ).$0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$$a_{r+1} - a_{r} \le K$$K > 2$$K = 9$

Bu açık bir sorundur.

Mihai Pătrașcu'nun STOC 2010 " Dinamik Sorunlar için Polinom Alt Sınırlarına Doğru " makalesinin bir sonucunun uyarlanmasıyla muhtemelen 3SUM sertliğinin zayıf bir şekli kanıtlanabilir . İlk olarak, yakından ilişkili problemlerin bir dizisini tanımlayayım. Her problemin girdisi , farklı tamsayılardan oluşan sıralı bir dizisidir .$A[1..n]$

• 3sum: orada farklı bir indeksi olan , öyle ki bir [ ı ] + Bir [ j ] = A [ k ] ?$i,j,k$$A[i] + A[j] = A[k]$

• Convolution3SUM: orada bir indeksi olan böyle bir [ ı ] + Bir [ j ] = A [ i + j ] ?$i<j$$A[i] + A[j] = A[i+j]$

• Ortalama: orada farklı bir indeksi olan bu tür bir [ ı ] + Bir [ j ] = 2 bir [ k ] ?$i,j,k$$A[i] + A[j] = 2 A[k]$

• ConvolutionAverage: orada bir indeksi olan bu şekilde bir [ ı ] + Bir [ J ] = 2 bir [ ( i + j ) / 2 ] ? (Sorduğunuz sorun bu.)$i<j$$A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

Doktora tezimde, bu sorunların dördünün de , yalnızca "Is α A [ i ] + β A [ j ] + γ şeklinde sorgulara izin veren bir karar ağacı hesaplama modelinde zaman gerektirdiğini kanıtladım. bir [ k ] + δ pozitif, negatif veya sıfır?", burada α , β , γ , δ (giriş bağımlı olmayan) reel sayılardır. Özellikle, bu modeldeki herhangi bir 3SUM algoritması " A [ $\Omega(n^2)$$\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$$\alpha,\beta,\gamma,\delta$ daha büyük, daha küçük ya da ona eşit , A [ k ] ", en az? Q ( n 2 ) katı Bu düşük hesaplama daha genel bir modelde subquadratic algoritmaları dışlamaz bağlanmış -. Gerçekten de, bununçeşitli tamsayı RAM modellerindebazı log faktörlerini tıraşetmek mümkündür,ancak kimse ne tür daha genel bir modelin daha önemli bir şekilde yardımcı olacağını bilmez.$A[i] + A[j]$$A[k]$$\Omega(n^2)$

Dikkatli bir karma azalma kullanarak, Pǎtraşcu 3sum gerektiriyorsa kanıtladı beklenen zaman, her işlev için f , daha sonra Convolution3SUM gerektirir Q'dan ( n 2 / f 2 ( n ⋅ f ( n ) ) ) beklenen saati. Bu nedenle, Convolution3SUM'un "zayıf 3SUM-sert" olduğunu söylemek mantıklıdır. Örneğin, Convolution3SUM O ( n 1.8 ) zamanda çözülebilirse, 3SUM O $\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$$O(n^{1.8})$ zaman.$O(n^{1.9})$

Ayrıntıları temel almadım, ancak paralel bir argümanın Ortalama beklenen süre gerektiriyorsa, herhangi bir f fonksiyonu için , o zaman ConvolutionAverage Ω ( n 2 / f gerektirdiğini ima ettiğini iddia ediyorum. 2 ( n ⋅ f ( n ) ) ) beklenen süre. Başka bir deyişle, ConvolutionAverage "zayıf Ortalama-zor".$\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

Ne yazık ki, Ortalama (zayıf) 3SUM-sert olup olmadığı bilinmemektedir! Ben Ortalama aslında olduğundan şüpheleniyorsanız değil sadece çünkü eğer, 3sum sert Ortalama gitmekte düşük değerler$\Omega(n^2)$ olduğu ölçüde daha kanıtlamak için zor 3sum gitmekte düşük değerler$\Omega(n^2)$ .

Ayrıca, bitişik dizi öğelerinin bazı sabit tamsayı daha az farklı olduğu özel durumu da sorarsınız . 3SUM ve Ortalama için bu varyant, Fast Fourier dönüşümleri kullanılarak O ( n log n ) zamanında aşağıdaki gibi çözülebilir . (Bu gözlem Raimund Seidel'e bağlıdır.) $K$$O(n \log n)$

Bir bit vektör inşa , burada B : [ i ] = 1 ise ve tamsayı, yalnızca bir [ 1 ] + i , giriş dizi görünür A . Hesaplamak kıvrım arasında B kendisi ile O ( K n log K , n ) = O ( n log n ) FFTs kullanarak zamanı. Elde edilen dizi içinde sıfır olmayan bir değeri vardır $B[0..Kn]$$B[i]=1$$A[1]+i$$A$$B$$O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$$j$inci pozisyon, ancak ve ancak, eğer eleman bir çift üzere toplam 2 A [ 1 ] + j . Böylece, A [ i ] + A [ j ] toplamlarının sıralanmış bir listesini O ( n ) zamanındaki evrişimden çıkarabiliriz . Buradan, Ortalama veya 3SUM değerini O ( n ) zamanda çözmek kolaydır .$A$$2A[1] + j$$A[i]+A[j]$$O(n)$$O(n)$

Ama Convolution3SUM veya ConvolutionAverage için benzer bir numara bilmiyorum!