Bir DAG'daki iki köşe arasında en kısa ve en uzun yolları bulma

Bir ağırlıksız DAG (yönlendirilmiş asiklik grafik) göz önüne alındığında, ve iki köşe ve , bunun en kısa ve en uzun yol bulmak mümkündür için polinom zamanda? Yol uzunlukları kenar sayısı ile ölçülür.s t s $D = (V,A)$$s$$t$$s$$t$

Polinom zamanındaki olası yol uzunlukları aralığını bulmakla ilgileniyorum.

Ps., Bu soru StackOverflow sorusunun bir DAG'daki en uzun yolunun kopyası .

En kısa yol problemi için, ağırlıkları önemsemezsek, önce genişlik ilk arama kesin bir yoldur. Aksi takdirde Dijkstra'nın algoritması , negatif kenar olmadığı sürece çalışır.

En uzun yol için, Bellman-Ford'u grafikte her zaman tüm kenar ağırlıkları ihmal edilmiş olarak yapabilirsiniz. Bellman-Ford'un negatif ağırlık döngüleri olmadığı sürece çalıştığını ve bu nedenle bir DAG üzerindeki ağırlıklarla çalıştığını hatırlayın.

Letve. Let kenarının ağırlığını verir . Eğer gelen minimum ve maksimum yol maliyetini bulmak istediğinizi varsayalım için .m = | E ( G ) | w ( a → b ) ( a → b ) s $n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

başlayarak aşağıdakileri yapın:$b := t$

1. daha önce ziyaret edilmişse , önceden hesaplanmış ve . Aksi halde ziyaret edildiği gibi işaretleyin .$b$$\min(b)$$\max(b)$$b$

2. ve değerini aşağıdaki gibi belirleyin ve kaydedin .$\min(b)$$\max(b)$

   • Eğer , mağaza .$b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • Else set , . Boş bir kenar kümesi üzerinden minimum ve maksimum değerleri hesaplarken (hiç gelen kenar yok veya yok sayılır), . min(a)=maks(a)=inaccessibl $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

Bu algoritmanın zamanında çalıştığını ve tüm köşe değişkenlerini başlatmak için gereken süreyi ihmal ettiğini kanıtlayabilmelisiniz .$O(m)$