Kelime sayısının, verilen uzunluktaki düzenli bir dilde asimptotiği

Düzenli bir dili için , , uzunluğu sözcük sayısı olsun . (Bazı DFA Açıklama içermeyen geçiş matrisine uygulanabilir Ürdün kanonik formu ), bir o kadar büyük için gösterilebilir , nerede karmaşık polinomları ve vardır kompleksi "özdeğerler" dir. (Küçük için , formu ek şartları olabilir , olduğu ise ve $L$ $c_n(L)$ $L$ $n$ $L$ $n$

c_{n} (L) = Σ_{ben = 1}^{k} P_{ben} (n) λ_{ben}^{n},

$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$

P_{i}

$P_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

n

$n$

C_{k} [n = k]

$C_k[n=k]$

[n = k]

$[n=k]$

1

$1$

n = k

$n=k$

0

$0$ aksi takdirde. Bunlar , özdeğer

ile en az

k + 1

$k+1$ olan Jordan bloklarına karşılık gelir .)

0

$0$

Bu gösterimin, eğer $L$ sonsuz ise asimptotik olarak, bazı için . Bununla birlikte, bu açıkça yanlıştır: eşit uzunluktaki tüm kelimelerin üzerindeki dili için , ama . Bu, bazı ve hepsi için , ya da yeterince büyük için ya da . Bu Flajolet ve Sedgewick'te kanıtlanmıştır. $c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$ $C,\lambda>0$ $L$ $\{0,1\}$ $c_{2n}(L) = 2^{2n}$ $c_{2n+1}(L) = 0$ $d$ $a \in \{0,\ldots,d-1\}$ $c_{dm+a}(L) = 0$ $m$ $c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ (Teorem V.3), kanıtı Berstel'e bağlayan.

Flajolet ve Sedgewick tarafından sağlanan ispat biraz tekniktir; o kadar teknik ki, aslında, sadece çizerler. Perron-Frobenius teorisini kullanarak daha temel bir kanıt denedim. DFA'nın geçiş grafiğini bir diploma olarak görebiliriz. Eğer digraph ilkel ise, sonuç hemen hemen doğrudan Perron-Frobenius teoreminden gelir. Digraph göstergesi ile indirgenemez ama ilkel ise $r$ , o zaman göz önünde " $r$ DFA (her geçiş karşılık th gücü" $r$ sembolleri), aynı sonucu elde etmek. Zor durum digrafinin indirgenebilir olduğu durumdur. Güçlü bir şekilde bağlanmış bileşenlerden oluşan bir yolu azaltabiliriz ve sonra formun toplamlarını tahmin ederek sonucu elde ederiz.

\underset{m_{1} + \dots + m_{k} = m}{Σ} Π_{ben = 1}^{k} λ_{ben}^{m_{ben}} .

$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$ (Bu tür toplamlar, belirli bir şekilde farklı bileşenlerden geçen bir sözcüğü kabul etmenin belirli bir yoluna karşılık gelir.) Bu toplam,

karşılık gelen en büyük terimi işaretleyerek tahmin edilebilir.

m_{i} \propto \log λ_{i}

$m_i \propto \log \lambda_i$ .

r

$r$ kere tekrarlanan her özdeğer için, ekstra bir

faktörü alırız

Θ (m^{r - 1})

$\Theta(m^{r-1})$ .

Kanıtın pürüzlü kenarları vardır: indirgenebilir durumda, asimptotik terimlerinden $C \lambda_i^m$ yukarıda belirtilen gerekir ve sonra toplamı tahmin etmemiz gerekir.

Flajolet ve Sedgewick'in ispatı belki daha basit ama daha az basit. Başlangıç noktası, nin rasyonel üretme işlevidir $c_n(L)$ ve kutup büyüklüğü sayısında (!) İndüksiyon içerir. Temel düşünce, maksimum modülün tüm özdeğerlerinin, (orta derecede kolay) bir Berstel teoremine bağlı olarak (modüller tarafından normalleştirilirse) birliğin kökleri olmasıdır. Uygun bir seçimi $d$ ve uzunluktaki kelimelerine bakarak $dm+a$ tüm bu özdeğerler gerçek olur. Kısmi kesir genişlemesi göz önüne alındığında, eğer maksimum modülün özdeğer "hayatta kalırsa", o zaman biçimindeki asimptotik değerleri belirler. $Cn^k\lambda^n$ . Aksi taktirde, sadece bu uzunluktaki kelimelere karşılık gelen (bir Hadamard ürünü kullanarak) yeni bir rasyonel üretme işlevi bulur ve argümanı tekrar ederiz. Yukarıda belirtilen miktar azalmaya devam ediyor ve sonunda istenen asimptotiği buluyoruz; $d$ , endüktif adımlarda olan her şeyi yansıtmak için süreç içinde büyümek gerekebilir.

nin asimptotik özelliği için basit ve temel bir kanıt var mı $c_n(L)$ ?

— Yuval Filmus
kaynak

En üstte hangi "asimptotik özellik" den bahsediyorsunuz?

— Raphael

Kesinlikle bu özellik.

— Yuval Filmus,

İndirgenebilir durumda, basit birleştirici sınırlar yok mu (belki yol alt kümeleri ve çoklu yol kümeleri göz önüne alınarak elde edilebilir)?

— András Salamon

Kolay sınırlar var ama muhtemelen orada polinom faktörlerini kaybediyorsunuz. Polinom olarak pek çok terimin bir toplamı vardır ve en büyük terimi kullanarak tahmin edebiliriz. Ancak, bu bize doğru asimptotik vermeyecektir, çünkü diğer terimler oldukça çabuk bozulur. Belki de bir integralle bir tahmin mümkündür, ancak bu durum biraz dağınık bir hal almaktadır.

— Yuval Filmus

genel olarak, alternatif veya daha temel sorunların kanıtlarını bulmak çok zor olabilir ve çoğunlukla teorik bir alıştırmadır ... başka bir motivasyon / bkg / uygulama var mı? cstheory'e göç etmelerini önerir.

— vzn

Çizdiğiniz argüman, Richard Stanley'in Enumerative Combinatorics, Cilt 1'deki Transfer-Matris Yöntemi'ne olan muamelesiyle ( 1 : bağlantı: sf. 57; baskı: sf. 500) ele alındığı anlaşılıyor .

Jeneratör işlevi ile başlar ve bunu digraphs ve izin verilen ve yasaklanmış faktörleri göz önüne alarak açar. Daha sonra serbest monoidlere özetler, burada kanıtlamak için verdiğiniz toplamların rafine edilmiş bir versiyonunu kullanır:

4.7.11 Teklif , serbestçe üreten bir alt kümesi olsun . Sonra $B$ $A^*$ $B$ $B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

Bazı uygulamalar üzerinde çalıştıktan sonra, aynı şekilde Hadamard ürünlerini yatay-dışbükey polyominolarla ilgili olarak tartışarak bölümü kapatır.

— JSS
kaynak

Asmettotik tahminler veren Stanley'in metnindeki bir teoremi işaret edebilir misiniz?

— Yuval Filmus,

Stanley'de hiçbir kesin ve kesin referans bulamıyorum, ancak Flajolet ve Sedgewick, Bölüm V.6'daki transfer matrisi yönteminin tedavisi üzerindeki etkilerini kabul ediyorlar. Özellikle Corollary V.1, akıl yürütme şeklinizi takip ediyor gibi görünen önceki Teoremleri (V.7, V.8) sunar. Ayrıca Stanley'in V.5 alt bölümünden başlayarak, V.6 Önerisi'nin Stanley Teoremi 4.7.2 ve Corollary 4.7.3

— JSS

Özel olarak aradığım şey asimptotik analiz. Aktarım matrisi yöntemiyle verilen, verilen uzunluktaki kelimelerin sayısı için verilen formül tam olarak ne aldığımı gösterir.

— Yuval Filmus,