TSP'ye indirgeyen sürekli bir optimizasyon sorunu

sınırlı sayıda noktası iki kez farklılaştırılabilir bir eğri istediğimizi , çevresi mümkün olduğunca küçük olacak. ve varsayarsak , bu sorunu şu şekilde resmileştirebilirim: $p_1,p_2,..p_n$ $C(P)$ $p_i$ $p_i=(x_i,y_i)$ $x_i<x_{i+1}$

Sorun 1 (Suresh'in yorumlara yanıt olarak düzenlenmiş) belirlemek işlevleri bir parametre , öyle ki yay uzunlukları ile en aza indirgenmiştir ve tüm , elimizdeki . $C^2$ $x(t),y(t)$ $t$ $L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$ $x(0) = x_1, x(1) = x_n$ $t_i: x(t_i) = x_i$ $y(t_i)=y_i)$

Problem 1'in NP-zor olduğunu nasıl kanıtlayabilirim (veya belki de reddedebilirim)?

NP sertliğinden neden şüpheleniyorum $C^2$ varsayımının rahatladığını varsayalım . Açıkça, minimal yay uzunlukları fonksiyonu içinde Gezgin Satıcı turu $p_i$ 'ın. Belki de $C^2$ kısıtı sorunu daha da zorlaştırıyor?

Bağlam Bu sorunun bir varyantı yayınlanmıştır MSE . Hem orada ve bir cevap almadım MO . Sorunu çözmenin önemsiz olduğu göz önüne alındığında, ne kadar zor olduğunu belirlemek istiyorum.

— PKG
kaynak

nin kısıtlaması sorunu daha kolay hale getirmektedir. Özellikle, şimdi kısıtlamasını , noktaları düz çizgilerle bağladığınız için neden bu sorun önemsiz bir şekilde çözülmüyor?

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

C_{2}

$C_2$

— Suresh

Bu bir işlev değil. Eğer sizi "döngü etrafında" için altında, kısıt olduğunu iki kez dikey çizgi kesiştiği olacaktır eğrisi.

p_{3}

$p_3$

p_{2}

$p_2$

x_{1} < x_{2} < x_{3}

$x_1 < x_2 < x_3$

— Suresh

Açık değil, ne demek istediğini burada "belirle" olarak belirtmelisin. Standart bir terminoloji değildir. Bu bir karar sorunu bile değildir, bu yüzden NP-hard terimini kullanmak mantıklı değildir.

— Kaveh

@Suresh, çıktı kısmında genişletebilir misiniz? Bir lanet adının numaralandırılabilir bir dizi eğriden çıktısını kastettiğinizi tahmin ediyorum. Bu durumda, optimal eğrinin her zaman bu sınıftan olacağı açık değildir. Öte yandan, bunlar arasında en iyi veya iyi olanı bulmak istiyorsak (veya optimal eğriye verilen bir parametreye kadar bir yaklaşım), parametrik eğrilerin sınıfı belirtilmelidir, aksi takdirde soru eksiktir ve olamaz cevap verdi.

— Kaveh

Girdi / çıktı artık sonlu bir nesne değildir, örneğin gerçek sayılar / işlevlerle gerçekten uğraşıyorsanız, probleminiz daha yüksek tiptedir. Her sonsuz cisim amaçlanan cisme sonsuz bir dizi yaklaşımla verilir. Eğer ilgileniyorsanız CCA ağının sayfasında daha fazla bağlantı var.

— Kaveh

Farklılaşma gereksinimi sorunun niteliğini değiştirmez: (süreklilik) veya (sonsuz farklılaşma) gerektirme uzunluk için aynı alt sınırı verir ve aynı puan ve sipariş satıcısı sorunu çözme eşdeğerdir. $\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^{\infty}$

TSP'ye bir çözümünüz varsa, tüm noktalardan geçen bir eğrisine sahipsiniz . Tersine, bir olduğunu varsayalım tüm noktaları üzerinden geçer, sonlu uzunlukta eğrisi ve izin üzere olmak ki noktaları ve karşılık gelen parametreleri geçer (eğri bir noktayı bir kereden fazla geçerse, olası değerlerinden herhangi birini seçin ). Sonra segmentten oluşturulan eğri $\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^0$ $p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$ $t_1,\ldots,t_n$ $t$ $n$ $[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$ her segment için düz bir çizgi noktayı bağlayan diğer tüm eğrilerden daha kısadır. Bu nedenle noktaların her sıralaması için en iyi eğri bir TSP çözümüdür ve TSP çözümü noktaların en iyi sıralanmasını sağlar.

Şimdi eğrinin (veya herhangi bir için ) olmasını zorunlu kılmanın en iyi sıralama sırasını değiştirmediğini gösterelim. Toplam uzunluk ve herhangi bir olan herhangi bir TSP çözümü için, her köşeyi yuvarlayabiliriz, yani noktaları aynı sırayla geçen ve uzunluğu olan bir eğrisi oluşturabiliriz. most (açık yapı cebirsel işlevlere ve ye çarpma işlevlerini tanımlamak için ve gibi eğri segmentleri arasındaki yumuşak bağlantılardan ile bağlantı kurar $\mathcal{C}^{\infty}$ $\mathcal{C}^k$ $k$ $\ell$ $\epsilon > 0$ $\mathcal{C}^{\infty}$ $\ell + \epsilon$ $e^{-1/t^2}$ $e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$ $y=0$ ile ile en ; bunları açık yapmak sıkıcıdır, ancak hesaplanabilirler); dolayısıyla, bir eğrisi için alt sınır, bir segment koleksiyonu için olanla aynıdır (alt sınırın genel olarak ulaşılmadığına dikkat edin). $x=0$ $y=x$ $x=1$ $\mathcal{C}^{\infty}$

— Gilles 'SO- şeytan olmayı bırak'
kaynak

Bu tam olarak ben uzun zamandır, arıyordu argüman! Sıkıcı inşaat için referans verebilir misiniz?

— PKG

Bu tamamen titiz değil, özellikle düzlemde polinom zamanında TSP'ye keyfi olarak iyi bir yaklaşım sağlayabiliyorsunuz.

— Suresh

Poli zamanında TSP'yi sadece 2 katına çıkarabileceğinizi düşündüm?

— PKG

@PKG Yapının muhtemelen bir adı var, ama korkarım matematik derslerim hatırlamam için çok uzun zaman önceydi. Sadece temel bağlantıya bir yumru fonksiyonu denir hatırladım.

— Gilles 'SO- kötü olmayı bırak'

Kendi başına bir hata değil. Azalmanız yaklaşıktır - bazı hata terimi . Bu önemlidir, çünkü azalma pahalı olabilir (yani üstel ). Yani azalma kesin değil. @PKG, genel metrik uzaylarda TSP'yi faktör 3/2'ye yaklaştırabilir ve düzlemde veya herhangi bir Öklid uzayında keyfi olarak ( içinde) kapanabilir .

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Suresh