Hesaplama matris güçlerinin karmaşıklığı

I hesaplanmasında ilgi am 'bir inci gücü matris . Matris çarpımı için zamanında çalışan bir algoritmamız olduğunu varsayalım . Daha sonra, kolayca hesaplayabilir de bir süre. Bu sorunu daha az zaman karmaşıklığında çözmek mümkün müdür? $n$ $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

Matris girişleri genel olarak bir dönemden olabilir, ancak yardımcı olursa ek yapı varsayabilirsiniz.

Not: I genel işlem olarak anlamak de zaman verecek üs algoritması. Ancak, bazı ilginç problemler m = özel matris üssü durumuna indirgenir ve bu daha basit problem hakkında aynı şeyi kanıtlayamadım. $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
kaynak

matrisin girdileri nelerdir? Tamsayılar?

— Kaveh

Girişler genel olarak bir dönemden olabilir, ancak yardımcı olursa ek yapı varsayabilirsiniz.

— Shitikanth

Yukarıda önerilen yöntemden (yani

kullanarak) çoğalmadan kareye indirime gidemedim . Ancak,

işe yarar. Bununla birlikte, bu sadece bir verir

hesaplanması ile

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— Shitikanth

Yanıtlar:

Matris köşegenleştirilebiliyorsa , Gç alınması zamanında yapılabilir, burada köşegenleştirilme zamanıdır . $n$

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$

Sadece ayrıntıları tamamlamak için, çapraz , o zaman $A=P^{-1}DP$ $D$

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

ve , Diagonal her eleman (her özdeğer alınarak hesaplanabilmektedir için) inci güç. $D^n$ $A$ $n$

— Ran G.
kaynak

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

(1) Alıntı yaptığınız zaman Coppersmith-Winograd tarafından değil (muhtemelen bildiğiniz gibi). (2) Bu formdaki tüm algoritmalar sadece halkalar için çalışır; genel semirings için çalışmazlar (sorunuzda izin verdiğiniz gibi).

— Ryan Williams

$n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

$O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— PKG
kaynak

O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

\log m

$\log m$

Belirtildiği gibi bu, sorunuzdan belli değildi.

— PKG