Tamsayılı Doğrusal Programlama problemleri NP-Zor mudur?

Anladığım kadarıyla, Macar algoritması polinom zamanında çözebileceği için atama problemi P'dir - O (n ³ ). Ayrıca atama sorununun bir tam sayı doğrusal programlama sorunu olduğunu anlıyorum , ancak Wikipedia sayfası bunun NP-Hard olduğunu belirtiyor. Bana göre bu, atama sorununun NP-Hard'da olduğunu ima ediyor.

Ancak, atama problemi hem P hem de NP-Hard'da olamaz, aksi takdirde P NP'ye eşit olur mu? Wikipedia sayfası tüm ILP problemlerini çözmek için kullanılan genel algoritmanın NP-Hard olduğu anlamına mı geliyor? Birkaç başka kaynak da ILP'nin NP-Hard olduğunu belirtiyor, bu yüzden genel olarak karmaşıklık sınıfları hakkındaki anlayışımı gerçekten karıştırıyorum.

Bir sorun NP-Hard ise, bu sorunun NP-Hard olan bir sınıf örneği olduğu anlamına gelir. Diğer özel örnek sınıflarının polinom zamanında çözülebilmesi mükemmel bir şekilde mümkündür.

Örneğin, bir grafiğin 3 rengini bulma sorununu düşünün . Bilinen bir NP-Hard problemidir. Şimdi, örneklerinin, örneğin ağaçlar olan grafiklerle sınırlı olduğunu düşünün. Açıkça polinom zamanında bir ağacın 3 rengini kolayca bulabilirsiniz (gerçekten de 2 rengini de bulabilirsiniz).

Bir saniyeliğine karar problemlerini düşünün. Bir karar problemi sertliğini kanıtlamanın bir yöntemi, NP-Hard olarak bilinen başka bir problem bir polinom (Karp) azalması tasarlamaktır . Bu azaltmada , sorununun her bir örneğini sorununun bir örneğiyle eşleştiren bir işlevi olduğunu gösterirsiniz: , için evet örneğidir , için evet örneğidir . Bu, 'un çözülmesinin kendisi kadar "en azından zor" olması gerektiği anlamına gelir .$P$$Q$$f$$q$$Q$$P$$q$$Q \iff f(q)$$P$$f(q)$$q$

görüntüsünün örneklerinin kümesine eşit olması gerekmediğine dikkat edin . Bu nedenle , bazı örneklerin alt kümeleriyle sınırlı olan probleminin zor olmaması mükemmel şekilde mümkündür.$f$$P$$P$

Orijinal sorunuza geri dönmek için:

• Atama problemi polinom zamanda çözülebilir, yani atama probleminin her bir örneğine bir çözüm polinom zamanda hesaplanabilir.
• ILP NP-Zor'dur: genel olarak bir ILP problemine bir çözüm hesaplamak zor olabilir, yani zor ILP örnekleri vardır.
• Bazı spesifik ILP örnekleri, polinom zamanında çözülebilir.

Hayır, özel durumlar daha kolay olabilir.

Örneğin, verilen bu IP'yi düşünün $a_i \geq 0$ için $i \in [1..n]$:

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

için st ve .$\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$
$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$$i \in [1..n]$

arasında minimum değeri bulur (kaçınılmaz olarak en uygun çözümde ). sayılarının minumumunu bulmak açıkça bir polinom problemidir.$a_1, \dots, a_n$$x_i=1$$n$

Polinom olarak çözülebilir bir problemi IP olarak modelleyebilirsiniz. Bu, sorunun NP-zor olduğu anlamına gelmez. Basitçe, probleminizin IP modelini çözmek için bilinen bir polinom algoritması olmadığı anlamına gelir (P = NP olmadığı sürece).

Önerdiğiniz gibi, atama sorunu P'dir, ancak IP modeliniz NP-zordur.

Hayır, özel bir tamsayı programı vardır, eğer kısıtlama matrisi TUM (tamamen unimodüler matris) ise, o zaman polinom zamanında çözülebilen doğrusal programa rahatlatılabilir.

Atama problemi bir ILP değil, bir LP problemidir ve bu nedenle NP zor değildir.