Boole mantık işlemlerini sıfır bir tamsayılı doğrusal programlamada (ILP) ifade eder.

Ben boolean değerleri göstermek için bazı değişkenleri olan bir tamsayı doğrusal program (ILP) var . 'in tam sayı olduğu ve tutmak için kısıtlı olarak ya 0 ya da 1 ( ).x i 0 ≤ x i ≤ $x_i$$x_i$$0 \le x_i \le 1$

0/1 değerli değişkenler üzerinde boole işlemlerini doğrusal kısıtlamalar kullanarak ifade etmek istiyorum. Bunu nasıl yapabilirim?

Daha spesifik olarak, (boolean AND), (boolean VEYA) ve (boolean NOT) ayarlamak istiyorum. 0 / 1'in açık yorumunu Boolean değerleri olarak kullanıyorum: 0 = false, 1 = true. Nasıl ILP'sinin kısıtlamaları sağlamak için yazıyorsunuz 'ın ilgili olarak s istenen'?y 2 = x 1 ∨ x 2 y 3 = ¬ x 1 y i x $y_1 = x_1 \land x_2$$y_2 = x_1 \lor x_2$$y_3 = \neg x_1$$y_i$$x_i$

(Bu, CircuitSAT'ten ILP'ye bir azalma veya SAT'yi ILP olarak ifade etmenin bir yolunu istemek olarak görülebilir, ancak burada yukarıda gösterilen mantıksal işlemleri kodlamak için açık bir yol görmek istiyorum.)

Mantıksal ve: lineer kısıtlamalar kullanın $y_1 \ge x_1 + x_2 - 1$ , $y_1 \le x_1$ , $y_1 \le x_2$ , $0 \le y_1 \le 1$ , $y_1$ bir tamsayı olduğu sınırlanmıştır. Bu istenen ilişkiyi zorlar. (Bunu sadece doğrusal eşitsizliklerle yapabildiğiniz için çok temiz , öyle mi?)

Mantıksal OR: lineer kısıtlamalar kullanın $y_2 \le x_1 + x_2$ , $y_2 \ge x_1$ , $y_2 \ge x_2$ , $0 \le y_2 \le 1$ , $y_2$ , bir tam sayı olduğu sınırlanmıştır.

Mantıksal değil: Kullanım $y_3 = 1-x_1$ .

Mantıksal ima: ifade etmek için $y_4 = (x_1 \Rightarrow x_2)$ (yani, $y_4 = \neg x_1 \lor x_2$ mantıksal VEYA için), uyum konstrüksiyonunda. Özel olarak, lineer kısıtlamalar kullanımı $y_4 \le 1-x_1 + x_2$ , $y_4 \ge 1-x_1$ , $y_4 \ge x_2$ , $0 \le y_4 \le 1$ ,$y_4$ kısıtlı bir tam sayı olduğu.

Zorunlu mantıksal uygulama: $x_1 \Rightarrow x_2$ tutması gerektiğini ifade etmek için, sadece $x_1 \le x_2$ doğrusal sınırını kullanın ( $x_1$ ve $x_2$ zaten boole değerleriyle sınırlı olduğu varsayılarak ).

XOR: $y_5 = x_1 \oplus x_2$ (münhasır veya $x_1$ ve $x_2$ ) ifadesini ifade etmek için , $y_5 \le x_1 + x_2$ , $y_5 \ge x_1-x_2$ , $y_5 \ge x_2-x_1$ doğrusal eşitsizlikleri kullanın 2 - x 1 , $y_5 \le 2-x_1-x_2$ , $0 \le y_5 \le 1$ ,$y_5$ bir tam sayı olması sınırlanmıştır.

Ve bir bonus olarak, sıfır-bir (boolean) değişkenlerle tamsayı değişkenlerinin bir karışımını içeren problemleri formüle ederken sıklıkla yardımcı olan bir teknik daha:

Boolean (versiyon 1) yayınla: bir tamsayı değişken olduğunu varsayalım $x$ ve tanımlamak istediğiniz $y$ ki $y=1$ ise $x \ne 0$ ve $y=0$ ise $x=0$ . Ayrıca $0 \le x \le U$ olduğunu biliyorsanız , o zaman doğrusal eşitsizlikleri $0 \le y \le 1$ , $y \le x$ , $x \le Uy$ ; ancak, bu yalnızca bir üst ve alt sınır bağlı olduğunu biliyorsanız çalışır.$x$ . Veya, eğer biliyorsan$|x| \le U$ (yani,$-U \le x \le U$ ) bazı sabit$U$ , o zamanburadaaçıklanan yöntemi kullanabilirsiniz. Bu, yalnızca$|x|$.

Boolean için Oyuncular (sürüm 2): Aynı hedefi göz önüne alalım, ama şimdi $x$ üzerinde bir üst sınır tanımıyoruz . Ancak, $x \ge 0$ olduğunu bildiğimizi varsayalım . İşte bu kısıtlamayı lineer bir sistemde nasıl ifade edebileceğinizi açıklayabilirsiniz. İlk önce, yeni bir tamsayı değişkeni $t$ . Eşitsizlikler ekleyin $0 \le y \le 1$ , $y \le x$ , $t=x-y$ . Eğer en aza indirmek, böylece Sonra, objektif fonksiyonu seçmek $t$ . Bu sadece zaten nesnel bir işleve sahip değilseniz işe yarar. Eğer n varsa$n$Negatif olmayan tamsayı değişkenleri $x_1,\dots,x_n$ böylece ve, boole için hepsini döküm istiyorum $y_i=1$ eğer $x_i\ge 1$ ve $y_i=0$ eğer $x_i=0$ , o zaman tanıtabilirsiniz $n$ değişkenler $t_1,\dots,t_n$ eşitsizlikleri ile $0 \le y_i \le 1$ , $y_i \le x_i$ ,$t_i=x_i-y_i$ ve$t_1+\dots + t_n$ asgariye indirmek için amaç işlevini tanımlayın. Yine, bu sadece nesnel bir işlev tanımlamak için başka hiçbir şeyin işe yaramadığı durumlarda (eğer yayınlar dışında, boolean dışında, sonuçta elde edilen ILP'nin fizibilitesini kontrol etmeyi planlıyorsanız, değişkenlerin bazı fonksiyonlarını en aza indirmeye / en üst düzeye çıkarmaya çalışmıyorsanız).

Bazı mükemmel uygulama problemleri ve çalışılmış örnekler için Tamsayılı Doğrusal Programları Formüle Etme: Bir Rogues 'Gallery .

Mantıksal AND ilişkisi (diğer çözümde olduğu gibi) üç sınırlama yerine bir aralık sınırında modellenebilir . Yani üç kısıtlama yerine y 1 ≥ x 1 + x 2 - 1 , tek aralık kısıtlaması 0 ≤ x 1 + x 2 - 2 y 1 ≤ 1 kullanılarak yazılabilir.

NOT için böyle bir gelişme yoktur.

$y=x_1 \land x_2 \land \dots \land x_n$$n$

XOR y = x1⊕x2 için daha kısa bir çözüm buldum (x ve y ikili 0, 1'dir)

sadece bir satır: x1 + x2 - 2 * z = y (z herhangi bir tamsayıdır)