Yapılandırmacı mantıkta kararsız diller var mı?

Yapılandırmacı mantık, Hariç Tutulan Orta Yasasını ve Çifte Olumsuzluğu aksiyom olarak kaldıran bir sistemdir. Burada ve burada Vikipedi'de tanımlanmıştır . Özellikle, sistem çelişki ile ispatlamaya izin vermez.

Merak ediyorum, bunun Turing Makineleri ve biçimsel dillerle ilgili sonuçları nasıl etkilediğini bilen var mı? Bir dilin kararsız olduğu hemen hemen her ispatın çelişki ile ispata dayandığının farkındayım. Hem Köşegenleştirme argümanı hem de bir indirgeme kavramı bu şekilde çalışır. Kararsız bir dilin varlığının “yapıcı” bir kanıtı olabilir mi ve eğer öyleyse, nasıl görünürdü?

EDIT: Açık olmak gerekirse, yapılandırmacı mantıktaki çelişkiyle ispat anlayışım yanlıştı ve cevaplar bunu netleştirdi.

Evet. Bir çelişki çıkarmak için dışlanan orta noktaya ihtiyacınız yoktur. Özellikle, köşegenleştirme hala işe yarıyor.

İşte Conor McBride tipik diyagonalleştirme argümandır. Bu özel köşegenleştirme, eksiklik ile ilgilidir, kararsızlık değil, ama fikir aynı. Dikkat edilmesi gereken nokta, ortaya çıkardığı çelişki "P ve P" biçiminde değil, "x = x + 1" biçiminde olmasıdır.

Tabii ki, şimdi yapıcı mantığın "x = x + 1" ifadesini bir çelişki olarak kabul edip etmediğini merak ediyor olabilirsiniz. Öyle. Çelişkilerin ana özelliği, her şeyin bir çelişkiden kaynaklandığını ve "x = x + 1" kullanarak, iki doğal sayı için yapıcı bir şekilde "x = y" olduğunu kanıtlayabilirim.

Yapıcı bir kanıt konusunda farklı olabilecek bir şey "kararsız" ın tanımlanma şeklidir. Klasik mantıkta her dil ya karar verilebilir ya da karar verilemez olmalıdır; yani “kararsız” sadece “kararlaştırılamaz” anlamına gelir. Ancak yapıcı mantıkta "değil" ilkel bir mantıksal işlem değildir, bu yüzden kararsızlığı bu şekilde ifade edemiyoruz. Bunun yerine, bir dilin reddedilir olduğunu varsayarsak çelişkilere yol açabileceğini varsayarsak kararsız olduğunu söylüyoruz.

Aslında, "değil", yapıcı mantıkta ilkel olmasa da, genellikle "P'yi", "P'nin bir çelişki oluşturmak için kullanılabileceği" sözdizimsel şeker olarak tanımlarız, bu nedenle çelişkiyle bir kanıt aslında Yapısal olarak "dil L kararsız" gibi "P" şeklinde bir ifadeyi kanıtlamaz.

Klasik ifadelerin yapıcılığının kanıtlanabilirliği hakkında konuşurken, bunları nasıl formüle ettiğimiz genellikle önemlidir. Klasik olarak eşdeğer formülasyonların yapısal olarak eşdeğer olması gerekmez. Ayrıca yapıcı bir kanıtla tam olarak ne kastettiğinizi önemlidir, çeşitli yapılandırmacı okullar vardır.

Örneğin, hesaplanamayan bir toplam fonksiyonun olduğunu belirten bir ifade, Kilise-Turing Tezi'ni (yani her fonksiyonun hesaplanabilir olduğu) bir aksiyom olarak kabul eden yapıcı matematiğin lezzetlerinde doğru olmaz.

Öte yandan, dikkatli olmanız durumunda, kanıtlanabilecek şekilde formüle edebilirsiniz: hesaplanabilir toplam fonksiyonların numaralandırılması için, numaralandırmada olmayan toplam hesaplanabilir bir fonksiyon vardır.

Sen buldu olabilir Bu yayını Andrej Bauer ilginç tarafından.

ps: Köşegenleştirmeye kategori teorik açıdan da bakabiliriz. Görmek

• Francis William Lawvere , " Çapraz Argümanlar ve Kartezyen Kapalı Kategorileri ", 1969

Ben düşünüyorum kardinalite kanıtı hala hesaplanabilir diller (şimdiye kesinlikle undecidable) olmayan dillerin varlığını gösteren bulundurduğunu.

Anında kanıt oldukça dümdüzdür, basitçe Turing Machines'in bazı sonlu alfabelerde kodlanmış olduğunu (aynı zamanda ikili olabilir) gözlemlediğinden, sayılabilir bir şekilde çok sayıda ve tüm dillerin sabit bir alfabe üzerindeki kümesinde (tekrar ikili olabilir) ) bu alfabe üzerindeki dizi kümesinin tüm alt kümelerinin kümesidir - yani bir sayılabilir kümenin güç kümesidir ve sayılamaz olmalıdır. Bu nedenle, Turing Makineleri, dillerden daha az var, bu yüzden bir şey hesaplanabilir değil.

Bu bana yeterince yapıcı görünüyor (fiziksel olarak takip etmek imkansız olsa da, bazı dilleri işaret etmenin ve hesaplanamadığını bilmenin bir yolunu veriyor).

Daha sonra sayılabilir ve sayılamayan kümelerin farklı kardinalliğe sahip olduğunu, özellikle köşegenleştirmeden kaçınıldığını göstermenin mümkün olup olmadığını sorabiliriz. Bunun hala mümkün olduğunu düşünüyorum. Cantor'un orijinal argümanı da uygun bir şekilde yapıcı görünüyor.

Tabii ki, bunun gerçekten yapılandırmacı mantık hakkında daha fazla şey bilen biri tarafından kontrol edilmesi gerekiyor.

Ben diagonalizasyon argümanının yapıcı olduğuna inanıyorum, ancak bazı çevrelerde bu konuda bazı anlaşmazlıklar olduğunu söyleyebilirim.

Demek istediğim, kabul edilebilir tüm dil gruplarına baktığımızı varsayalım. Köşegenleştirme kullanarak kararsız bir dil oluşturabilirim. Tarihsel olarak bunların birbiriyle ilişkili yaylar olduğunu düşünmeme rağmen, “yapılandırmacılık” ve “finalitizmi” aynı şey olarak düşünmediğimi belirtmeye değer.

İlk olarak, herkesin - hatta yapılandırmacıların bile - inkar edilebilecek diller kümesinin sayılabilir olduğuna katılıyorum. Turing makineleri seti sayılabilir olduğundan (sonlu karakter dizileri kullanarak tüm geçerli TM kodlarını kodlayabiliriz), bu anlaşma oldukça kolay bir şekilde takip edilir.

$L_1, L_2, ..., L_k, ...$

1. $0^i$
2. $0^i \in L_i$$0^i$
3. $0^i \notin L_i$$0^i$

$n$$L_1, L_2, ..., L_n$

Bu yüzden teknik olarak, “kesinleşmeyen” bir dil kurduk; Bir yapılandırmacının “karar verilemez” in “karar verilemez” ile karıştırılmaması gerektiğini tartışıp tartışmayacağı ilginç bir sorudur, fakat cevaplamak için donanımlı olmadığım bir sorudur.

Açıklığa kavuşturmak için, bunun gösterdiğini düşündüğüm şey şudur: Turing makineleri tarafından kararlaştırılmayan dillerin olduğunu yapısal olarak ispatlayabiliriz. Belirli bir çerçevede nasıl zor bir soru olduğunu yorumlamayı seçtiniz.