Neden tüm problemler FPTAS'ta da FPT'de?

Polinom-zaman yaklaşım şemaları hakkındaki Wikipedia makalesine göre :

FPTAS'taki tüm problemler sabit parametreli izlenebilirdir.

Bu sonuç beni şaşırtıyor - bu sınıflar birbirinden tamamen farklı görünüyor. FPTAS, problemleri yaklaşık olarak ne kadar kolay olacaklarıyla karakterize ederken, FPT problemleri bazı parametrelere göre zorlukları ile karakterize eder. Ne yazık ki, Wikipedia (bu soruyu sorduğum anda) bunun için bir alıntı sağlamıyor.

Bu sonucun standart bir kanıtı var mı? Yoksa bu bağlantı hakkında daha fazla bilgi edinmek için başvurabileceğim bir kaynak var mı?

Aslında daha güçlü bir sonuç var; Eğer fptas ¹ ise sınıfında bir problem vardır : ( n + 1 ile sınırlı bir sürede çalışan bir ε- yakınsama$\mathrm{FPTAS}$$\varepsilon$(yani hem büyüklük hem de yaklaşıklık faktörü açısından polinom). Daha genel bir sınıfı vardırDP, TbirSbağlı zaman rahatlatırf($(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$$\mathrm{EPTAS}$- temelolarak yaklaşık faktöre göreFPTbenzeri bir çalışma süresi.$f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$$\mathrm{FPT}$

Açıkça bir alt takımı D P , T bir S ve çıkıyor D P , T bir G bir alt takımı F P T aşağıdaki anlamda:$\mathrm{FPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{FPT}$

Teoremi bir NPO sorun ise bir sahiptir$\Pi$ eptas, daha sonra çözeltisi maliyeti parametrize sabit bir parametredir izlenebilir.$\Pi$

Teorem ve kanıt Flum & Grohe [1] 'de Teorem 1.32 (s. 23-24) olarak verilmiştir ve bunu Cai & Chen'in zayıf sonucundan iki yıl önce (ama bir Fransız dilinde) bazgan [2]' ye atfeder. teknik rapor).

Kanıtın bir taslağını vereceğim, çünkü bu teoremin güzel bir kanıtı. Basitlik için minimizasyon versiyonunu yapacağım, sadece zihinsel olarak maksimizasyon için uygun inversiyonları yapacağım.

Kanıt. Let olmak eptas için tt , o zaman parametreli bir algoritma oluşturmak için A ' için Π çözeltisi maliyeti parametreli k , aşağıdaki gibi: belirli bir giriş ( x , k ) , yayınlamayı A girişi x nerede grubu ε : = $A$$\Pi$$A'$$\Pi$$k$$(x,k)$$A$$x$ (yani sınır1+1olan yaklaşıklık oranını seçiyoruz$\varepsilon := \frac{1}{k+1}$ ). LetyÇözelti olmakmaliyet(x,y)ve maliyetiyver(x,y)gerçek yaklaşım oranı olarakyiçintercih(x)örneğin,maliyet(x,y)=R(x,y)⋅opt(x).$1+\frac{1}{k+1}$$y$$\text{cost}(x,y)$$y$$r(x,y)$$y$$\text{opt}(x)$$\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

Eğer , ardından kabul, açıkça opt ( x ) ≤ maliyeti ( x , y ) ≤ k . Eğer maliyet ( x , y ) > k olarak reddetme r ( x , y ) ≤ 1 + $\text{cost}(x,y) \leq k$$\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$$\text{cost}(x,y) > k$ olarakbirbir olaneptasve$r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$$A$

Tabii ki gitmekte çalışma süresini olsun dan sadece A bir varlık eptas . $A'$$A$$\Box$

Tabii ki Pål'ın işaret ettiği gibi, parametreli sertlik sonuçları , bir miktar çökme olmadıkça herhangi bir eptasın yokluğunu ima eder , ancak ep P (veya hatta ptas ) olmayan problemler vardır , bu nedenle E P T A S katıdır F P T'nin alt kümesi ( teorem anlamında).$\mathrm{FPT}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{FPT}$

Dipnotlar:

1. Bir fptas (eşdeğer olarak eptas veya ptas ), çalışma süresi yukarıda tarif edildiği gibi sınırlanmış bir yaklaşım şemasıdır. Sınıf (eşdeğer. D p , T bir S , P , T bir S ) sorunlara kümesidir , N p O böyle bir düzeni vardır.$\mathrm{FPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{PTAS}$$\mathrm{NPO}$

[1]: J. Flum ve M. Grohe, Parametreli Karmaşıklık Teorisi , Springer, 2006.
[2]: C. Bazgan. Schémas d'approximation et complexité paramétrée , Rapport de DEA, Paris Sud Üniversitesi, 1995.