Süpürme Çizgisine Göre Dikdörtgen Kapsama Alanı

Ne yazık ki kendim başarılı olamadığım bir egzersiz yapıyorum.

Bir dizi dikdörtgen var $R_{1}..R_{n}$ ve bir dikdörtgen $R_{0}$. Düzlem tarama algoritmasını kullanarak$R_{0}$ tamamen $R_{1}..R_{n}$.

Tarama çizgisi algoritmalarının prensibi hakkında daha fazla bilgi için buraya bakın .

Hadi baştan başlayalım. Başlangıçta, tarama çizgisi algoritmasını iki veri yapısı gerektiren çizgi segmenti kavşaklarını bulma algoritması olarak biliyoruz :

• bir set $Q$ olay noktalarının (segmentlerin ve kesişme noktalarının uç noktalarını depolar)
• bir durum $T$ (süpürme çizgisinin kesiştiği segment seti için dinamik yapı)

Genel Fikir: bu süpürme çizgisini varsayalım$l$soldan dikdörtgen kümesine yaklaşmaya başlayan dikey bir çizgidir. Tümünü sırala$x$ dikdörtgenlerin koordinatları ve $Q$ artan sırada - almalı $O(n\log n)$. İlk olay noktasından başlayın, her nokta için verilen kesişen dikdörtgen setini belirleyin$x$ , kesişen dikdörtgenlerin sürekli segmentlerini koordine edin ve kapsamlarını kontrol edin $R_{0}$ tamamen mevcut $x$koordinat. İle$T$ ikili bir ağaç olarak alacak $O(\log n)$. Herhangi bir parçası varsa$R_{0}$ açıkta kalır $R_{0}$ tamamen kapsanmamıştır.

Ayrıntılar: Segment kesişim algoritması fikri, sadece bitişik segmentlerin kesişmesiydi. Bu gerçeğe dayanarak statü inşa ettik$T$ve algoritma boyunca korudum. Bu durumda benzer bir fikir bulmaya çalıştım ve şimdiye kadar başarı olmadan, söyleyebileceğim tek şey, karşılık gelen iki dikdörtgen kesişiyor$x$ ve $y$ koordinatlar çakışıyor.

Sorun nasıl inşa edileceği ve bakım yapılacaktır $T$ve inşa etmenin ve sürdürmenin karmaşıklığı $T$dır-dir. Bu durumda R ağaçlarının çok yararlı olabileceğini varsayıyorum , ancak bulduğum gibi R ağaçları kullanarak minimum sınırlayıcı dikdörtgeni belirlemek çok zor.

Bu sorunun nasıl çözüleceği ve özellikle nasıl oluşturulacağı hakkında herhangi bir fikriniz var mı? $T$?

İle başlayalım $n$eksene hizalanmış dikdörtgenler, çünkü bir tür kolay doğrudan tartışma vardır. Dikey bir çizgi süpüreceğiz. Olaylar, dikdörtgenlerin yatay kenarlarının uç noktalarıdır. Süpürürken, süpürme çizgisinde "tarafından ortaya çıkarılan" bir dizi aralık tutuyoruz$R_i$, $i\ge 1$:

• Dikdörtgenin kapsadığı dikey aralığı ekleyin $R_i$ ilk karşılaştığımızda süpürme çizgisine $R_i$
• Dikdörtgenin kapsadığı dikey aralığı kaldırın $R_i$ geçerken süpürme çizgisinden $R_i$

Bunu ikili bir ağaçla yapmak kolaydır, böylece güncellemeler $O(\log n)$saati. (Sorun esasen 1 boyutludur. Uç noktaların açıkta kalan bir aralıkta olup olmadığını anlarsınız ve çıkarırken uygun şekilde uzatır / birleştirirsiniz.)

Sonra sadece kontrol edin, $R_0$, ortaya çıkarılan aralıkların hiçbiri, $R_0$. Her şey$O(n\log n)$ zaman bir $O(n)$ Uzay.

Genel durum için, bariz numara o kadar hızlı değil. Dikdörtgenlerin neden olduğu tüm düzlemsel altbölümü hesaplamak için standart tarama çizgisi algoritmasını kullanın.

Açıkça bazı disk benzeri setler $F'$ yüzlerin kapakları $R_0$. Tek başına, bu bize yeterince anlatmıyor, çünkü ilgilendiğimiz şey bu yüzlerin herhangi birinin içeride olup olmadığı$R_0$ve diğer dikdörtgenlerin dışında. Bunu yapmak için, yapıyı biraz değiştiririz, böylece bir kenar eklediğimizde, bir tarafı içindeki dikdörtgenin kimliğiyle etiketleriz. Bu ekler$O(1)$ havai, yani inşaat $O(n^2\log n)$zaman; dikdörtgenler üzerinde hiçbir varsayım olmadan, çıktı olabilir$\Omega(n^2)$ boyut olarak, en kötü durumda bu kadar yer kullanıyoruz, bu yüzden zaman "çıkış duyarlı" olmasa da "varoluşsal olarak optimal" dir.

En sonunda, $R_0$ yüzlerin hiçbiri $F'$ yalnızca kenarlarından birinde olarak etiketlenmemiş kenarlara sahip $R_i$. Mesele şu ki eğer bir kenarı$f$ içinde $R_i$, sonra bütün $f$de öyle. Bir çizgiyi süpürdüğünüzü hayal edin$f$ dikey olarak bu kenar boyunca: sadece bırakabilir $R_i$ ya dışında $f$ veya $f$ birden fazla kenarı ile sınırlıdır $R_i$.

Sonuç olarak, özel durum $O(n\log n)$ ve genel olan $O(n^2\log n)$ en azından, ancak geliştirilebileceğinden şüpheleniyorum.