Grup teorisi ve biçimsel diller için köprü teoremleri

13

Matematik gruplarını ve CS resmi dillerini veya Turing makineleri gibi başka bir temel CS kavramını ilişkilendirmenin veya bağlamanın doğal veya kayda değer bir yolu var mı ?

Referanslar / uygulamalar arıyorum. Ancak yarı gruplar ve CS dilleri arasındaki bağlantıdan haberdar olduğumu unutmayın ( sonlu otomata üzerinden ). (Semiautomata ilişkin bu literatür hiç "grup-otomata" ya bakar mı?)

Yıllar önce, TM geçiş tablolarını ikili bir operasyona, muhtemelen bazen bazı durumlarda bir gruba dönüştüren ve TM durum tablosundaki bir tür simetriye dayanan bir kağıt gördüm. Özellikle bunu keşfetmedi, ama aynı zamanda dışlamadı.

Ayrıca, özellikle, sonlu grupların sınıflandırılması üzerine yapılan geniş çaplı matematik araştırmaları ile ilgili olarak , TCS'de herhangi bir anlamı veya yorumu olabilir mi veya yorumlayabilir mi? Matematiksel araştırmaların bu devasa yapısının "algoritmik mercek" görünümü nedir? Hesaplamadaki olası gizli bir yapı hakkında "ne" diyor?

Bu soru kısmen diğer bazı notlardan esinlenmiştir:

— vzn
kaynak

1

Mathoverflow soru bu soruya ilişkilidir.

— scaaahu

Sorumu taşınmayı düşünüyorum dillerin sınıfı olan geçiş monoidler Geçişli permütasyon grupları DFAs tarafından kabul edilen nedir? Bu sorunun sonucuna bağlı olarak buraya gidin.

— scaaahu

@scaaahu Bence grup teorisi kombinatoriklerden daha iyi uyuyor . Ayrıca Matematik ile ilgili sorunuzu her halükarda buraya taşımanız gerektiğini düşünün .

— Raphael

12

Önce alt sorunuzu cevaplayayım: Yarı otomatik olarak ilgili literatür "grup-otomata" ya hiç bakıyor mu? . Cevap Evet. S. Eilenberg kitabında (Automata, diller ve makineler. Cilt B, Academic Press), sınırlı değişmeli gruplar ve grupları tarafından tanınan düzenli dillerin bir karakterizasyonunu verdi . Sonlu nilpotent gruplar, çözünür gruplar ve süper çözünür gruplar için benzer sonuçlar bilinmektedir. $p$

Sonlu gruplar da düzenli ifadeler için tam bir kimlik seti bulma probleminde önemli bir rol oynamaktadır. John Conway tarafından sonsuz bir set önerildi ve bu varsayım sonunda D. Krob tarafından kanıtlandı. Sonlu sayıda "temel" kimlik, artı her sonlu basit grup için bir kimlik vardır . Referanslar için bu soruya verdiğim cevaba bakınız .

Ters yönde, sonlu otomata teorisi, Schreier formülü gibi kombinatoryal grup teorisi üzerinde temel sonuçların temel bir kanıtıdır. Stallings'in Sonlu Grafiklerin Topolojisi adlı seminal makalesine dayanmaktadır .

Ayrıca ters yönde, otomatik gruplar sonlu otomata olarak tanımlanır.

Profinite grupları da otomata teorisinde önemli bir rol oynamaktadır. Bir örnek, geçiş tersinir otomata tarafından tanınan normal dillerin muhtemelen birkaç başlangıç ve son durum ile karakterize edilmesidir.

Bağlamdan bağımsız diller, gruplar ve mantık arasında çok hoş bir bağlantı için, David E. Muller ve Paul E. Schupp tarafından yazılan makaleye bakınız, Bağlamdan bağımsız diller, gruplar, uçlar teorisi, ikinci dereceden mantık, döşeme sorunları, hücresel otomata ve vektör toplama sistemleri .

— J.-E. Toplu iğne
kaynak

p-grubu / p-düzenli , wikipedia

— vzn

p

$p$

ayy, açıklama için teşekkürler! p-grupları ? Bu arada, benzer şekilde, sonsuz gruplar için herhangi bir CS bağlantısı biliyor musunuz?

— vzn

@vzn Muller ve Schupp'un makalesi sonsuz gruplarla ilgilidir. Bağlamdan bağımsız grup kavramını doğurdu . Benzer şekilde, serbest profinite grupları da sonsuzdur.

— J.-E.

@vzn Cevabıma otomatik gruplar da ekledim. Bu gruplar üzerinde geniş bir literatür vardır.

— J.-E.

11

$^1$ $S_5$ $A_5$

Sonlu basit grupların sınıflandırılması ile ilgili olarak, hatırladığım kadarıyla, grup izomorfizmi için bazı algoritmalarda dolaylı olarak kullanıldığı, grafik izomorfizmi ile ilgili bir problem.

— Yuval Filmus
kaynak

1

Yuval, sonlu basit gruplar için grup izomorfizm probleminin (çarpım tablosu olarak verilen gruplarla) bahsettiğini düşünüyorum. Sınıflandırma ile, en fazla iki boyutta bir jeneratör setine sahiptirler, bu da çok kolay bir algoritma sağlar: mathoverflow.net/questions/59213/… .

— Sasho Nikolov

10

$g_1, ..., g_m$ $a_1 = b_1, ..., a_n = b_n$ $x, y \in \{g_1, ..., g_m\}^*$ $\{g_1, ..., g_m\}$ $x = y$

Çözülebilir kelime problemleri olan grup sınıfları için koşullar sağlayan birçok derin sonuç vardır. (A Karar verilebilen kelime sorun var grupların sınıflar için) kelimesi sorunları karar karmaşıklığını incelemek örn görmek ilginç burada .

— Martin Berger
kaynak

Kelime problemlerine karar vermenin karmaşıklığı tam da aradığım şeydi. Eğer serbest grup için düz çizgi program gösterimi kullanılırsa (serbest monoid için kimlik testi için de geçerlidir) olasılıklı polinom kimlik testine ilginç bir yazışma (eşdeğerlik?) Oluşturduğu görülmektedir.

— Thomas Klimpel

@ThomasKlimpel PIT ile olan ilişkisi hakkında daha fazla bilgi verebilir misiniz?

— Martin Berger

Aslında, Z üzerinde sabit poligonların (yani değişken olmayan) PIT olduğu ortaya çıkıyor. Bu ilişki, 2x2 tamsayı matrislerinin çarpımından geliyor, çünkü bu çarpma işlemi tamamen düz çizgi sunumunda yapılabilir. Ancak Z üzerinde sabit çokgenlerin PIT için bile, şu anda bilinen bir derandomizasyon yoktur, bu nedenle yine de güzel bir ilişki olabilir.

— Thomas Klimpel

-1

Google ile, nispeten ücretsiz profinite monoidleri buldum: Jorge Almeida'nın Semigroups, Formal Languages and Groups'da bir giriş ve örnekler, (Mathematical Sciences Dergisi , 144 (2): 3881-3903, 2007) Bu konu.

— xuan-gottfried Yang
kaynak

4

Siteye Hoşgeldiniz! Bağlantınızın ölmesi durumunda yayınınızı kağıda tam bir alıntı ekleyecek şekilde düzenledim. Bu yazının soruyu nasıl cevapladığı hakkında biraz daha bilgi verebilirseniz yardımcı olacaktır.

— David Richerby