kümelenme problemi için en uygun açgözlü

Bize 2 boyutlu noktalar verilir ve k tamsayısı . En büyük dairenin yarıçapı mümkün olduğunca küçük olacak şekilde tüm n noktalarını çevreleyen bir k dairesi koleksiyonu bulmalıyız . Diğer bir deyişle, bir dizi bulmalıyız C = { c 1 , c 2 , ... , c k } ve k maliyet fonksiyonu bu şekilde merkez noktaları maliyet ( Cı ) = maks i dakika j D $|P| = n$$k$$k$$n$$C = \{ c_1,c_2,\ldots,c_k\}$$k$ en aza indirilir. Buradabir giriş noktası arasındaki Öklid mesafe belirtmektedirve bir orta nokta. Her nokta, köşelerifarklı kümelerhalinde gruplandıran en yakın küme merkezine kendini atar.$\text{cost}(C) = \max_i \min_j D(p_i, c_j)$p i c j$D$$p_i$$c_j$$k$

Sorun, (ayrık) kümeleme problemi olarak bilinir ve NP- serttir. NP- tamamlayıcı hakim küme probleminden bir azalma ile gösterilebilir , eğer ρ < 2 problemi için bir ρ- yakınlaştırma algoritması varsa o zaman P = NP .$k$$\text{NP}$$\text{NP}$$\rho$$\rho < 2$$\text{P} = \text{NP}$

Optimum yaklaşım algoritması çok basit ve sezgiseldir. Birincisi p ∈ P noktasını keyfi olarak seçer ve küme merkezlerinin C setine yerleştirir . Sonra bir sonraki küme merkezini diğer tüm küme merkezlerinden olabildiğince uzakta seçer. Öyleyse | C | < K , tekrar tekrar bir noktaya bulmak j ∈ P mesafesi olan D ( j , Cı- ) maksimize edilir ve ekleyin C . Bir Kez | C | $2$$p \in P$$C$$|C| < k$$j \in P$$D(j,C)$$C$ işimiz bitti.$|C| = k$

Optimal açgözlü algoritmanın sürede çalıştığını görmek zor değildir . Bu bir soru doğurur: o ( n k ) zamanını elde edebilir miyiz ? Ne kadar iyi yapabiliriz?$O(nk)$$o(nk)$

Sorun gerçekten de noktalarını k ile kaplamak istediğimiz şekilde geometrik olarak görülebilir.$V$$k$ de en büyük top yarıçapının en aza indirildiği topları .

elde etmek gerçekten oldukça basit ama daha iyisini yapabilir. Feder ve Greene, Yaklaşık kümeleme için en uygun algoritmalar, 1988,daha akıllı veri yapıları kullanarak Θ ( n log k ) çalışma süresine ulaşır ve bunun cebirsel karar ağacı modelinde optimal olduğunu gösterir.$O(nk)$$\Theta(n \log k)$

Benim sorum: Açgözlü toplama stratejisini zamanında çalıştırmamın bir yolu var mı ?$o(|V|^2)$

Bana öyle geliyor ki tarif ettin. Açıklamanızda çok fazla okursam, anladım. Her elemanını S elemanlarına olan mesafenin toplamı ile ilişkilendiren bir ilişkisel veri yapısına sahip olun . Bu veri yapısı, p'ye olan mesafe ile O ( | V | ) maliyetinde başlatılabilir ve bu başlatma, karmaşıklığı arttırmadan bir yan etki olarak bir sonraki öğeyi üretebilir. Yeni bir eleman seçildikten sonra O ( | V | ) maliyetiyle güncellenebilir ve yine bir sonraki elemanı yan etki olarak üretir. S almak için tekrarlayın$V$$S$$O(|V|)$$p$$O(|V|)$$S$ . Ortaya çıkan karmaşıklık .$O(k |V|)$