Yavru Kedi Evlat Edinme Probleminin Karmaşıklığı

Bu, Kablolama Uzunluğu Minimizasyonu hakkındaki bu soruya cevap vermeye çalışırken ortaya çıktı . Ben buna "çok eşli evlilik" problemi diyecektim, ama internet, yavru kediler. Yaşasın!

Elimizdeki varsayalım tarafından kabul edilmesi gerekmektedir yavru kedi insanlar, . Her yavru kedi, ve her bir kişi için bir maliyet . Tüm yavru köpekleri benimsemenin toplam maliyetini en aza indirmek istiyoruz. Bir dizi kısıtlama da vardır: her biri yavru daha fazlasını kabul .N M > N i j c i j j u $M$$N$$M > N$$i$$j$$c_{ij}$$j$$u_j$

Kısıtlamalar olmadan sorun kolaydır; Her bir yavru kişi ile gider olan minimaldir. Kısıtlamalar ile bu sorun için etkili bir algoritma var mı yoksa NP zor mu?j c i $i$$j$$c_{ij}$

Bu, minimum maliyet maksimum akış sorunudur.

grafiğini düşünün , burada yavru kedi seti, insan grubudur.A $G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$$A$$B$

Let kenarlarının kapasitesi ve olmak olmak bir kenar maliyeti. Biz emin olun c : E → R $C:E\to \mathbb{R}^+$$c:E\to \mathbb{R^+}$

1. arasında bir kenar vardır ; burada ve ve , .a i ∈ A b j ∈ B C ( a i , b j ) = 1 c ( a i , b j ) = c i , $a_i,b_j$$a_i\in A$$b_j\in B$$C(a_i,b_j)=1$$c(a_i,b_j)=c_{i,j}$
2. ve arasında bir kenar vardır ve , .a i ∈ A C ( s , a i ) = 1 c ( s , a i ) = $s$$a_i\in A$$C(s,a_i)=1$$c(s,a_i)=0$
3. Orada arasında bir kenar ve ve , .t C ( b j , t ) = u j c ( b j , t ) = $b_j\in B$$t$$C(b_j,t)=u_j$$c(b_j,t)=0$

Maksimum akış , bir çözüm olduğunu biliyoruz. Minimum maliyet maksimum akışından bir minimum maliyet çözümü oluşturabilirsiniz.$M$

Bu, polinom olan minimum ağırlık mükemmel eşleştirme problemidir. Tam ikili grafik düşünün olan, , bir düğüm içeren her kedi için , oluşur düğüm kopyaları her bir kişi için , ve kenarları e ı j ∈ D arasında l i ve r j'nin her bir kopyası, c i j ağırlıkları ile .L l i i R u j r j$(L , R , E)$$L$$l_i$$i$$R$$u_j$$r_{j}$$j$$e_{ij} \in E$$l_i$$r_{j}$$c_{ij}$

Bunu biliyoruz aksi halde tüm yavrular kişilere atanamaz.$|L| \leq |R|$

Mükemmel eşleme tüm düğümlerle eşleşmesi gerektiğinden, kukla düğümler eklememiz gerekir ( | L | = | R | almak için ) ve bunları R'deki tüm düğümlere sıfır ağırlık kenarlarıyla bağlamamız gerekir .$L$$|L| = |R|$$R$

$\{x_1,\dots,x_q\}$$q$$S \subseteq \{1,\dots,q\}$$|S|=q/2$$\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$$c_{i1} = x_i$$c_{i2} = -x_i$$u_1 = u_2 = q/2$$0$

$C$$Cq$

Orijinal sorunun karmaşıklığı hakkında ne söylediğinden emin değilim, ancak sık görülen "en aza indir / maksimize et biri NP-zor, diğeri P" kurulumunda kombinatoryal optimizasyon problemleri için göz önüne alındığında, bir etkin algoritma.