Doğrusal programlama için güçlü dualite teoreminin kısa ve kaygan kanıtı

Doğrusal programları düşünün

\begin{array}{ccc} P r i m a l : & A \vec{x} \leq \vec{b} & max {\vec{c}}^{T} \vec{x} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{ccc} D u a l : & \vec{c} \leq {\vec{y}}^{T} A & min {\vec{y}}^{T} \vec{b} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$

Zayıf ikilik teoremi, $\vec{x}$ ve $\vec{y}$ kısıtlamaları karşıladığında $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ . Lineer cebir kullanarak kısa ve kaygan bir kanıtı vardır: $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ .

Güçlü ikilik teoremi, $\vec{x}$ primal için en uygun $\vec{y}$ , ikili ve için bir çözüm olan belirtir. $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$ .

Güçlü dualite teoremi için benzer kısa ve kaygan bir kanıt var mı?

— Kaveh
kaynak

Bradley, Hax ve Magnanti'nin MIT çevrimiçi kursu web.mit.edu/15.053/www bölüm 4, bu çizgiler boyunca makul kısa bir kanıt verir. Bu aradığınız şey mi?

— cody

@cody, aslında CLRS'deki ile aynı görünüyor. Kaygan bir lineer cebir şeklinde ifade edebiliyorsanız iyi olabilir (yani toplamlar yok).

— Kaveh

Görünüşe göre istediğim şey muhtemelen mümkün değil. Farkas uzayın kapalılığını kullanır, yani muhtemelen saf lineer cebir kanıtı yoktur.

— Kaveh

Kendimi çok hantal olmayan bir şey bulmaya çalışmak, öğrencilerime göstermek için (böylece sadece inanç üzerinde güçlü bir ikilik almak zorunda değiller) ve karşılaştığım şeylerin çoğu çok hantal kategoride. Dan Spielman'ın bir sınıfından notlarda oldukça kısa ve görünüşte basit bir argüman buldum. Bazı karmaşıklığı gizlediğinden mi yoksa eksik bir şey mi olduğundan emin değil misiniz? (Henüz anlatacak kadar ayrıntılı bir inceleme yapmadım.) Cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf

— Magnus Lie Hetland

Ah, sanırım merkezi bir nokta, önceki dersteki

— Magnus Lie Hetland

Muhtemelen değil. İşte kavramsal bir argüman

Farkas Lemma : Tam olarak aşağıdaki alternatiflerden birinin bir çözümü var:

ve $Ax \le b$ $x \ge 0$

ve $y^TA\ge 0$ $y^Tb < 0$

Şimdi al optimal objektif değeri olsun. Let keyfi olun. Let için ek ile son satır olarak. ek olarak olsun $\delta$ $\epsilon > 0$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ $-\delta - \epsilon$ son değer olarak.

Sistem bir çözüm vardır. Farkas'a göre bir öyle ki: $A'x'\le b'$ $y' = (y,\alpha)$

ve . $y^TA\ge \alpha c$ $y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

Eğer ise diğer alternatifindeyiz. Bu nedenle . $\epsilon = 0$ $\alpha > 0$

Ölçek , böylece . çift uygulanabilir. Zayıf ikilik eder . $y'$ $\alpha = 1$ $y$ $\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$

— Louis
kaynak

Bence Jeff Erickson'un ders notlarındaki kanıt bu . Ben epsilon şeyler (saf doğrusal cebir gibi) kaçınarak bir şey arıyorum.

— Kaveh

JeffE'nin sahip olduğu şey biraz farklı ve geometriyi daha fazla açıklıyor. Her neyse, ne istediğinizi bulmayacaksınız, yani uygulanabilir bölge lineer bir alan değil, bir polihedron, bu yüzden bir şey sonunda bunu kullanmalıdır. (Burada, Farkas'ta saklanıyor. Gärtner ve Matoušek'in kitabı bu şeyler için gerçekten iyi bir referans. Bu kanıtın orada olduğundan eminim.)

— Louis