Basit sonlu düzenli diller için pompalama lemması

Wikipedia , düzenli diller için pompalama lemmasının aşağıdaki tanımına sahiptir ...

Let düzenli bir dil olması. Daha sonra, bir tam sayı vardır ≥ 1 sadece olarak , örneğin, her bir dize Bu olarak , en azından uzunluğunun ( "pompalama uzunluğu" olarak adlandırılır) olarak yazılabilir = (yani üç ayrılabilir alt dizeler).$L$$p$$L$$w$$L$$p$$p$$w$$xyz$$w$

1. | | ≥ 1$y$
2. | $xy$ | ≤ $p$
3. tüm $i$ ≥ 0, $xy^iz$ ∈ $L$

Bunun basit bir sonlu düzenli dil için nasıl tatmin olduğunu görmüyorum. Adım {bir alfabe varsa $a,b$ } ve normal ifade $ab$ daha sonra olan tek bir kelime oluşur takip . Şimdi normal dilimin pompalama lemmasını tatmin edip etmediğini görmek istiyorum ...$L$$a$$b$

Hiçbir şey normal ifademde tekrarlanmadığı için, değeri boş olmalıdır, böylece koşul 3 tüm için tatmin olur . Ama eğer öyleyse, en az 1 uzunluğunda olması gerektiğini söyleyen koşul 1'i başarısız olur !ben $y$$i$$y$

Bunun yerine izin verirseniz $y$ ya olmak $a$ , $b$ ya da $ab$ o zaman durumu 1 tatmin edecek ama aslında tekerrür çünkü hiçbir zaman koşulu 3 başarısız.

Açıkça akıllara durgunluk veren bir zihin eksik. Hangisi?

Haklısın - sonlu kelimesinin "pompalanmasına" izin veremeyiz . Eğer eksik bir şey lemma diyor ki vardır bir sayı p , ama bize numarayı söylemez.$L$$p$

Tüm kelimeler artık daha lemmasının tarafından, pompalanan edilebilir. Sonlu bir L için , p , L' deki en uzun kelimenin uzunluğundan daha büyük olacak şekilde gerçekleşir . Bu nedenle, lemması sadece vacuously tutar ve herhangi bir kelime için uygulanamaz L , yani herhangi bir kelime, L "en az uzunluğunda olan durumunu tatmin etmez p lemması gerektirdiği şekilde".$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

Bir sonuç: eğer uzunluğu pompalama olan p ve bazı kelime vardır ağırlık ∈ L en azından uzunluğunun p , o zaman L sonsuzdur.$L$$p$$w\in L$$p$$L$

Pompalama lemması genellikle sonsuz dillerde, yani sonsuz sayıda kelime içeren dillerde kullanılır. Herhangi bir sonlu dil , sonlu sayıda duruma sahip bir DFA tarafından her zaman kabul edilebildiğinden, L düzenli olmalıdır.$L$$L$

Wikipedia'ya göre ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ) pompalama lemması diyor ki: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

Sonlu bir dil için , izin l m, bir X kelime maksimum uzunluğu L ve izin p olması lemması pompalama l m, bir x + 1 . Bulunan kelimelerden hiç biri, çünkü pompa lemması tutan L uzunluğu ≥ l m bir x + 1 .$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

Pompalama lemmasının çekirdeğini resmileştirmenin bir yolu, :$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

Eğer normal olduğu vardır s ∈ N böylece$L$$p \in \mathbb{N}$

(*).$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

Tüm sonlu ve p için > max { | w | ∣ w ∈ L } , tabii ki L ≥ p = ∅ var . Bu nedenle (*) bu tür p için (boş olarak) doğrudur .$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$