OR ve MOD geçitli derinlik-2 devreleri evrensel değil mi?

Her boolean fonksiyonunun bir boole derinliği 2 (değişkenler, negatifleri ve sabit değerleri üzerinde) bir boole devresi kullanılarak gerçekleştirilebileceği iyi bilinmektedir. birinci seviyede AND geçitleri ve üst seviyede tek bir OR geçidi içeren; Bu basitçe DNF temsil ait . $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$

Devre karmaşıklığına büyük ilgi duyan bir diğer kapı tipi kapısıdır. Genel tanım aşağıdaki gibidir: $MOD_m$

{M Ö D}_{m} (x_{1}, ..., x_{k}) = {\begin{cases} 1 & Eğer Σ x_{ben} \equiv 0 şık m \\ 0 & Eğer Σ x_{ben} ≢ 0 şık m \end{cases}

$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if $\sum x_i \equiv 0 \mod m$ \\ 0 & if $\sum x_i \not\equiv 0 \mod m$ \\ }$

Bu kapılar bazen şaşırtıcı güce sahiptir; örneğin, herhangi bir boolean işlevi, sadece $\mathrm{MOD}_6$ geçitleri olan bir derinlik-2 devresi ile temsil edilebilir (bu folklordur, ancak ilgilenen birinin ayrıntılı olduğunu söyleyebilirim).

Bununla birlikte, başka bir folklor, üstte tek bir OR geçidine ve alt katmandaki $\mathrm{MOD}_m$ geçitlerine ( $m$ kez ve herkes için sabit olduğu ve özellikle tüm kapılar için aynı olduğu) devrelerin olmamasıdır. evrensel, yani herhangi bir değeri için devresi $m$ tarafından hesaplanamayan boole işlevleri vardır . $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$

Bu iddia için bir kanıt veya en azından bir yön arıyorum.

complexity-theory logic circuits

— Gadi A
kaynak

İlk paragrafta, KAPILMAMAK gerekir ya da “her monoton Boole işlevi ” demelisiniz .

— Tsuyoshi Ito

Haklısın; olağan varsayım, girdi olarak değişkenlerin, bunların olumsuzlamalarının ve ayrıca rasgele değerlerin (modgates için önemli) var olmasıdır. Bunu açıkça yazacağım.

— Gadi A

Sanırım , girdi değişkenlerinin sayısı , modülten farklı mı?

n

$n$

n

$n$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Evet, bunun için üzgünüm.

— Gadi A

Bununla ilgileniyorum. İlk folklorik gerçek için bir referans biliyor musunuz? Acaba, eğer ikinci devre sınıfında sadece bir VEYA'ya izin veriyorsanız, öncekinde kaç tanesine izin veriyorsunuz?

— Juan Bermejo Vega

Boolean AND işlevi hesaplanamıyor. Aslında AND işlevinin bir devresi tarafından hesaplandığını varsayalım . Daha sonra, MOD alt devrelerinden birinin zaten işlemesi gereken AND işlevini izlemesi gerekir, bu imkansızdır. $\text{OR} \circ \text{MOD}$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
kaynak

Hayır, haklı. Buradaki zımni varsayım, n'nin sabit olduğudur ve mod_n gatesli keyfi olarak çok sayıda girişi işleyebilmemiz gerekir.

— Gadi A

@GadiA Ah, tamam. Bu, sorunuzda, en azından tarlaya aşina olmayan insanlar için açık değildi. Bunu açıklığa kavuşturacak küçük bir düzenleme yaptım.

— Gilles 'SO- kötü olmayı bırak'

Evet, sorum çok kötü ifade edildi, üzgünüm.

— Gadi A

@Gilles Bana burada hangi hayran girişini düşündüğümüzü açıklayabilir misiniz? Benim için sorun, MOD alt devresinin neden hesaplayamadığını göremiyorum. Bu MOD ve bu AND'in kaç girişi var?