Rastgele grafiklerde kırpma sayısı

Rastgele grafiğin bir aile olduğunu ile (düğümler bağlı Gilbert ). Her muhtemel kenarı, bağımsız bir şekilde sokulur olasılığı ile . , büyüklüğündeki sayısı olsun . $G(n, p)$ $n$ $G(n, p)$ $p$ $X_k$ $k$ $G(n, p)$

Bunu biliyorum $\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , ama nasıl ispat edersiniz?

için nasıl gösterilir ? Ve ve sabit, keyfi bir sabit için nasıl gösterebilirim ? $\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1$ $n\to\infty$ $\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0$ $n\to\infty$ $c>1$

— user1374864
kaynak

Yani temelde üç soru var.

Bildiğim $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , ancak bunu nasıl ispat edersiniz?

Beklentinin doğrusallığını ve bazı akıllı yeniden yazımları kullanırsınız. Her şeyden önce, Şimdi, beklentisini , toplamı (doğrusallık nedeniyle) çizebilir ve Toplamı belirleyerek, düğümlerin alt kümeleri arasındaki tüm olası bağımlılıkları ortadan kaldırdık. Peki, bir klik olma olasılığı nedir? , ne olursa olsun , tüm kenar olasılıkları eşittir. Bu nedenle,

X_{k} = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 [T is clique] .

$X_k = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathbb{1}[T \text{ is clique}].$

X_{k}

$X_k$

E (X_{k}) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} E (1 [T is clique]) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} P r [T is clique]

$\mathrm{E}(X_k) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{E}(\mathbb{1}[T \text{ is clique}]) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{Pr}[T \text{ is clique}]$

T

$T$

T

$T$

P r [T is clique] = p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{Pr}[T \text{ is clique}] = p^{k \choose 2}$ , çünkü bu alt fasıldaki tüm kenarlar mevcut olmalıdır. Ve sonra, toplamın iç terimi artık bağlı değil, bizi .

T

$T$

E (X_{k}) = p^{(\binom{k}{2})} \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 = (\binom{n}{k}) \cdot p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{E}(X_k) = p^{k \choose 2} \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} 1 = {n \choose k} \cdot p^{k \choose 2}$

Bunu için gösterme : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$

Bunun doğru olup olmadığından tam olarak emin değilim. Binom katsayısına bir sınır uygulayarak ,

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n} = {(\frac{n e \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n})}^{\log n} .

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n} = \left(\frac{ne \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n}\right)^{\log n}.$ (Not kabaca üst sınırlı olduğu ile ). Bununla birlikte, artık tek bir seçim olabilir , ve elde , bu da tüm terimi büyük için getirir . Belki bazı varsayımlarını kaçırıyor musunuz ?

p^{\frac{- 1 + \log n}{2}}

$p^\frac{-1 + \log n}{2}$

p^{\frac{\log n}{4}}

$p^\frac{\log n}{4}$

p = 0.001

$p = 0.001$

\log_{2} 0.001 \approx - 9.96

$\log_2 0.001 \approx -9.96$

0

$0$

n

$n$

p

$p$

— HdM
kaynak

Bu doğru mu? . Olmak zorunda değil mi ama şimdi nasıl yapılacağını bilmiyorum

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n}$

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log_{2} n}) \cdot p^{(\binom{\log_{2} n}{2})} \leq {(\frac{n e}{\log_{2} n})}^{\log n} \cdot p^{\frac{(\log_{2} (n) \cdot e)^{2}}{4}}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log_2 n} \cdot p^{\log_2 n \choose 2} \leq \left(\frac{n e}{\log_2 n}\right)^{\log n}\cdot p^\frac{(\log_2 (n)\cdot e)^2}{4}$

— user1374864

Bu sınırı yalnızca üzerine uyguladım . İçin , o gözlemleyebiliriz . Şimdi beri , üssünü daha küçük yapmak istiyoruz (neden kendinizi ikna edin). Oldukça büyük , . Bu nedenle yukarıdaki hesaplama doğru olmalıdır ...

(\binom{n}{\log n})

${n \choose \log n}$

p

$p$

(\binom{\log n}{2}) = (\log n) (\log n - 1) / 2

${\log n \choose 2} = (\log n) (\log n -1)/2$

p \leq 1

$p \leq 1$

n

$n$

(\log n) (\log n - 1) / 2 > (\log n)^{2} / 4

$(\log n) (\log n -1)/2 > (\log n)^2 / 4$

— HdM

Üçüncü soru nedir?

— Sıra

İkinci soru ile aynı problemi yaşıyor. Üzgünüm, bunu netleştirmeliydim.

— HdM

Rastgele grafiklerde kırpma sayısı

Bildiğim E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}} , ancak bunu nasıl ispat edersiniz?

Bunu için gösterme :n→∞n→∞n\rightarrow\inftyE(Xlog2n)≥1E(Xlog2⁡n)≥1E(X_{\log_2n})\ge1

Bildiğim $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , ancak bunu nasıl ispat edersiniz?

Bunu için gösterme : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$