Neden Fermat öncelik testi yerine Miller

10

Miller-Rabin'in kanıtından , eğer bir sayı Fermat öncelik testini geçerse , aynı temel ( Millerdaki bir değişken) ile Miller-Rabin testini de geçmelidir . Ve hesaplama karmaşıklığı aynıdır. $a$

Aşağıdakiler Fermat öncelik testinden alınmıştır :

Carmichael sayıları asal sayılardan önemli ölçüde daha nadir olmakla birlikte , bunlardan 1 tanesi, Fermat'ın öncelik testinin genellikle yukarıdaki formda kullanılmaması için yeterlidir. Bunun yerine, Fermat testinin Baillie-PSW, Miller-Rabin ve Solovay-Strassen gibi daha güçlü uzantıları daha yaygın olarak kullanılmaktadır.

Miller-Rabin'in faydası nedir ve neden Fermat öncelik testinden daha güçlü olduğu söyleniyor?

algorithms primes

— ZijingWu
kaynak

7

Bir numara verilir da Rabin-Miller algoritması testleri, , olup Birlik aşikar olmayan köke sahiptir. $n$ $Z_n$

$a$ $n$ $a$ $a$ $a,2a,...,2^ra$

Böylece, aşağıdakiler var:

$n$ $1/2$

$1/2$

— Shaull
kaynak

Carmichael sayısı n, Fermat'ın testinde başarılı olabilir, ancak Rabin-Miller'da aynı üssü kullanarak başarısız olabilir ami?

— ZijingWu

a

$a$

a

$a$

a

$a$

a

$a$

a

$a$

a

$a$

1

"Daha karmaşık" testlerin amacı, yalan söyleyen bazların fraksiyonunun (sayının belki de asal, olmadığı zaman) 1'den daha az garantili bir limite sahip olmasıdır. Yani, Miller-Rabin'de en fazla 1/4 yalan (IIRC ve sınır oldukça kötümserdir).

— vonbrand

0

İfadenizin olup bitenin tersi olduğuna inanıyorum. Belirli bir baz için Miller-Rabin testini geçmek, aynı baz için Fermat testini geçeceği anlamına gelir. Buna karşılık, belirli bir baz için Fermat testini geçecek, ancak aynı baz için Miller-Rabin testinde başarısız olacak birçok kompozit var.

Örneğin, Wikipedia Miller-Rabin sayfasındaki Pomerance / Selfridge / Wagstaff'un makalesine bakın:

https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf

burada sayfa 2'de Euler psödoprimlerinin Fermat psödoprimlerinin bir alt kümesi olduğunu ve güçlü psödoprimlerin bunların bir alt kümesi olduğunu gösteren bir diyagram görüyoruz. Solovay-Strassen testi bu nedenle Fermat testinden daha fazla ve Miller-Rabin testi her ikisinden de daha fazla. Her ikisi de Carmichael sayılarının kritik probleminden kaçınırlar. Aslında aynı performansa sahipler, bu yüzden Miller-Rabin testini kullanmayı tercih ediyoruz.

— DanaJ
kaynak

0

Miller-Rabin'in Fermat'tan daha iyi olduğu açık olmalıdır.

$a^{p-1}$

$a^{p-1}$ $p-1 = s·2^k$ $a^s$ $a^{p-1}$

Yine, sonuç 1 değilse (modulo p) o zaman p kompozittir. Sonuç Ancak olan 1 modülo p, o zaman var olup olmadığını kontrol edin 1 olan bir orta derece sonuç ile karesi alınarak değil + 1 ya da 1, ve bu durumda X de bileşik olduğu kanıtlanmıştır.

Bu yüzden tam olarak aynı miktarda iş yapıyoruz, ancak x'in kompozit olduğunu kanıtlamanın daha fazla yolu var.

— gnasher729
kaynak

Neden Fermat öncelik testi yerine Miller – Rabin?