En fazla üç eyaleti olan DFA tarafından kabul edilmeyen normal dil

Yalnızca üç durumu olan herhangi bir DFA tarafından kabul edilemeyen normal bir dili tanımlayın.

Bunun nereden başlayacağından gerçekten emin değilim ve birinin bana bazı ipuçları veya tavsiyeler verebileceğini merak ediyordum. Pompalama lemmasının bir dilin düzenli olmadığını kanıtlamak için kullanılabileceğini anlıyorum, ancak bu durumda normal bir dil olmalıdır. Herhangi bir düşüncesi varsa takdir edilecektir.

Pompalama lemmasının DFA'daki durum sayısını dikkate aldığı söylenebilir. P durumları olan bir DFA tarafından kabul edilen her dili , aşağıdaki pompalama lemmasını karşılar:$L$$p$

Her bir kelime en azından uzunluğunun p olarak kırılmış olabilir w = X y z , burada | x y | And p ve | y | ≥ 1 , bu şekilde x y i z ∈ L tüm i ≥ 0 .$w$$p$$w=xyz$$|xy| \leq p$$|y| \geq 1$$xy^iz \in L$$i \geq 0$

Bu karakterizasyonu dilinin p + 1 durumları gerektirdiğini kanıtlamak için kullanabilirsiniz .$\{0^p\}$$p+1$

Diğer bir yöntem de Myhill - Nerode teoremini kullanmaktır. İki kelime olan inequivalent (bazı dil göre L bazı kelime için ise) z ya x z ∈ L ve Y Z ∉ L veya başka bir yol. Myhill - Nerode teoremi, p çift ​​olarak eşit olmayan kelimeler varsa, L için her DFA'nın en az p durumuna sahip olduğunu belirtir. L = { 0 p } örneği için p + 1'i bulabilirsiniz$x,y$$L$$z$$xz \in L$$yz \notin L$$p$$L$$p$$L = \{0^p\}$$p+1$ikili eşdeğer olmayan kelimeler, yani .$\epsilon,0,\ldots,0^p$

Yuval'ın cevabı harika. Tanımladığı şeyin daha basit bir formülasyonu, sonlu otomatanın keyfi olarak yüksek sayılamayacağı ve sayabilecekleri miktarın otomatadaki sayı durumları ile sınırlı olduğudur. Daha kesin olarak, bir otomatanın sayması için p + 1 durumuna ihtiyacı vardır (bir durum 0 olacaktır ).$p$$p+1$$0$

Bu, özünde, pompalama lemmasının arkasındaki tüm fikirdir: eğer bir dize gerçekten uzunsa, sonlu otomata bunun ne kadar yüksek sayıldığını ve tekrar tekrar başlamasını "unutmalıdır", böylece bir bölümü bakım yapmadan tekrar tekrar yapmanızı sağlar .

Bu nedenle, içindeki bir kelimeyi doğrulamak için 3'e kadar saymayı gerektiren herhangi bir normal dil, 3 boyutlu sonlu bir otomata ile tanımlanamaz.

Böyle bir dil düşünebiliyor musunuz? (Profesörünüz de bu sayım argümanını kanıtlamanızı bekleyebilir, ancak müfredatımda pompalama lemması hakkındaki bu anlayış kabul edildi)

$a^3 a^*$$a^3$

başka bir fikir, köşegenleştirme ! 3 veya daha az devletli DFA'ların tümünü numaralandırın, hepsinin birliğini alın ve ardından tamamlayıcıyı alın. Bu, normal dil işlemlerinin kapanmasıyla bir DFA'dır. Bu olabilir inşa bir algoritma aracılığıyla, ama soru sadece sorar açıklaması .