Bir çokgenin keyfi bir çizgiye göre monoton olup olmadığını nasıl test edebilirim?

Tanım : bir çokgen $P$ düzlemindeki bir düz çizgi ile ilgili olarak monoton olarak adlandırılır $L$ ise ortogonal her satır, $L$ kesiştiği $P$ en fazla iki kez.

Bir çokgen verilen $P$ , herhangi bir çizgi olup olmadığını belirlemek mümkündür $L$ , örneğin çokgen bu $P$ ile ilgili olarak bir monoton $L$ ? Evet ise, nasıl?

Daha önce, ben bir sorulan ilgili soru (Bir çokgen belirli doğruya göre monoton olup olmadığını belirlemek için nasıl istedi), ancak şimdi ben durumda ilgilenen am $L$ edilir değil verilen veya peşin belirtilmiş.

Bu mümkün.

Çokgen düşünün ve "içbükey" köşeleri düşünün. Tam olarak hangi çizgilerin çokgeni iki kereden fazla keseceğini tanımlarlar. Aşağıdaki şekilde, yasak açıların aralıklarını (kırmızı olarak) işaretledim. Bunları bir araya getirir ve kırmızı diskte bir delik görürseniz, yetkili açılar (mavi renkte) vardır. Poligon daha sonra herhangi bir eğim çizgisine göre monoton olur - 1 / tan δ (yeşil).$δ$$-1/\tan δ$

Şimdi algoritma.

Let olduğu I çokgen inci tepe. İlk olarak, mutlak açısını hesaplamak α i kenarının ( v ı v i + 1 ) ve iç açı β i tepe noktası v ı . Tüm iyi programlama dillerinde mevcut işlevi kullanın .$v_i=(x_i, y_i)$$i$$α_i$$(v_iv_{i+1})$$β_i$$v_i$atan2

β i = α i + 1 - α i + { 0  ise  α i + 1 ≥ α i 2 π  ise  α i + 1 < α

$$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$$ $$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$$

$s=\sum_i β_i-nπ$$s=-2π$$s=2π$

$m$$π$$β_j>π$$δ$$∪_j[α_{j+1},α_j]$$π$$j$$β_j>π$

$$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$$ $$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$$

$α_j$$α_j$$[0,π)$$π$$δ$

$O(n^2)$$α_j\mbox{ mod }π$$γ_1,…γ_m$$δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$

$δ$ sonra$L$ var ve eğimli $-1/\tan δ$. Aksi takdirde$P$ monoton değildir.